Self avoiding random walks on the hexagonal lattice
Loading...
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Author
Date
2021-01-26
Department
Major/Subject
Mathematics
Mcode
SCI3054
Degree programme
Master’s Programme in Mathematics and Operations Research
Language
en
Pages
49+2
Series
Abstract
This thesis is a self-contained exposition of the self-avoiding random walk model with special focus on the walks on the hexagonal lattice. Self-avoiding walks are non-intersecting paths on a lattice, and the model assigns uniform probability on the set of self-avoiding walks of fixed length with a given starting point. The model was first suggested by chemist Nobel laureate Paul Flory to study long polymer chains, and has since caught the attention of mathematicians due to the complexity of the subject despite the simplicity of the model. We prove classical results of self-avoiding walks in the case of walks in the hexagonal lattice, such as the Hammersley-Welsh bound, Kesten's pattern theorem, and the existence of infinite self-avoiding half-space random walks. The parafermionic observable for hexagonal lattice is reviewed and used to derive the value of the connective constant, which measures the exponential growth rate of the number of walks of a given length. The proofs mostly follow existing literature with necessary modifications to make them work in the hexagonal lattice. An exception to this is the proof of Kesten's pattern theorem, which has been streamlined considerably. We also review open problems and refer to recent developments in the subject.Diplomityössä esitellään itseään välttelevien staunnaiskävelyjen mallia, ja keskitytään erityisesti kävelyihin heksagonaalihilalla. Itseään välttelevä kävely on itseään leikkaamaton polku hilalla, ja mallissa annetun pituisille itseään vältteleville kävelyille annetulla aloituspisteellä asetetaan tasainen todennäköisyysjakauma. Ensimmäiseksi mallin esitti kemian nobelisti Paul Flory pitkien polymeeriketjujen tutkimiseksi; sittemmin se on osoittautunut haastavaksi analysoida mallin yksinkertaisuudesta huolimatta, mikä onkin herättänyt matemaatikoiden kiinnostuksen aiheeseen. Diplomityössä todistetaan itseään vältteleviin kävelyihin liittyviä klassisia tuloksia heksagonaalihilalle, kuten Hammersley-Welshin epäyhtälö, Kestenin kuviolause, sekä äärettömän puoliavaruussatunnaiskävelyn olemassaolo. Heksagonaalihilan paraferminen observaabeli itseään vältteleville kävelyille esitetään, ja sitä käytetään kävelyiden lukumäärän eksponentiaalisen kasvun tahdin eksaktiin määrittämiseen. Esitetyt todistukset pääosin seuraavat kirjallisuudesta jo löytyviä todistuksia välttämättömin muutoksin, joilla todistukset saadaan toimimaan heksagonaalihilalla. Kestenin kuviolauseen todistuksesta esitetään aiempia todistuksia huomattavasti lyhyempi versio. Itseään vältteleviin kävelyihin liittyviä avoimia kysymyksiä sekä viimeaikaisia kehityssuuntia mainitaan.Description
Supervisor
Kytölä, KalleThesis advisor
Kytölä, KalleWebb, Christian
Keywords
Self avoiding random walks, hexagonal lattice, Kesten's pattern theorem, parafermionic observable
