Weak reverse Hölder Iinequalities and Muckenhoupt weights: Interplay and implications

Abstract

Starting from the definition of a doubling measure on a metric measure spaces, the relevant theory is built to prove the equivalence of five different characterizations of the class of functions satisfying weak reverse Hölder inequality on an open subset of a metric measure space. The resulting class of functions is a relaxation of Muckenhoupt weights, which in turn arise from PDE, harmonic and Fourier analysis. Techniques used in the proofs include Vitali covering lemma, multiple key properties of Hardy-Littlewood maximal operator, and weighted inequalities. Lastly, it is shown that this class of functions, weak Muckenhoupt weights, satisfy the weak reverse Hölder inequality with all dilation factors strictly greater than one.

Alkaen tuplaavan mitan määritelmästä metrisissä mitta-avaruuksissa, johdetaan teoria, jolla näytetään viisi eri määritelmää keskenään yhtäpitäviksi heikon käänteisen Hölder-epäyhtälön toteuttavalle funktioluokalle avoimessa osajoukossa. Kyseinen funktioluokka, heikot Muckenhouptin painot, on yleistys Muckenhouptin painoista, joita esiintyy osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, harmonisessa analyysissä sekä Fourier-analyysissä. Todistuksissa käytettyjä tekniikoita ovat muun muassa Vitalin peitelause, Hardy-Littlewood-maksimaalioperaattorin useat keskeiset ominaisuudet sekä painotetut epäyhtälöt. Lopuksi osoitetaan, että heikot Muckenhouptin painot täyttävät heikon käänteisen Hölder-epäyhtälön kaikilla aidosti yhtä suuremmilla pallon laajennuskertoimilla.