Perturbaatioteoria
No Thumbnail Available
Files
Eklund_Linnea_2023.pdf (535.99 KB) (opens in new window)
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2023-09-11
Department
Major/Subject
Matematiikka ja systeemitieteet
Mcode
SCI3029
Degree programme
Teknistieteellinen kandidaattiohjelma
Language
fi
Pages
27
Series
Abstract
Työssä esitellään perturbaatioteoria: sen keskeinen tarkoitus, tieteellinen motivaatio työn tekemiseen sekä aiheeseen keskeisesti liittyvät Gerschgorinin teoreema että ominaisarvojen ja-vektorien derivaatat. Työ keskittyy erityisesti matriisiperturbaatiooon, jonka tavoitteena on vastata kysymykseen, miten matriisin ominaisarvot, niitä vastaavat ominaisvektorit sekä muut matriisiin liittyvät ominaisuudet muuttuvat, kun alkuperäinen matriisi kohtaa pientä perturbaatiota eli häiriötä. Perturbaatioanalyysillä saadaan selville joko perturbaatiolaajennus tai perturbaatioraja. Laajennus arvioi funktion perturbaation määrää, kun tiedetään perturbaatio sen muuttujassa. Perturbaatiorajat rajaavat perturbaatoin määrän yksittäisessä muuttujassa, rajoja voidaan luokitella erilaisiin ryhmiin. Eri matriisiluokat käyttäytyvät eri tavoin altistuessaan perturbaatiolle, minkä takia eri matriisiluokille on omat yksilölliset perturbaatiorajat ja-laajennukset. Teorian suurin rajoite on perturbaation koko. Teoria toimii parhaiten, kun perturbaatio tai muutokset ovat riittävän pieniä. Jos perturbaatio on liian suuri, approksimaatioiden tarkkuus heikkenee. Ominaisarvojen derivaatat ja Gerschgorinin teoreema eivät ole suoraan perturbaatiorajoja, mutta niiden avulla saadaan tietoa jota voidaan hyödyntää teorian käytössä. Ominaisarvojen derivaatat kuvaavat niiden muutosta matriisin parametreihin tai muuttujiin, esimerkiksi perturbaatioparametriin ϵ. Derivaatoilla voidaan arvioida ominaisarvojen muutosta perturbaation vaikutuksesta. Gerschgorinin teoreeman avulla saadaan selville ominaisarvojen summitainen sijainti kompleksitasolla, ominaisarvot sijaitsevat Gerschgorinin kiekkojen yhdisteessä. Perturbaatioteoriaa hyödynnetään insinööritieteissä monilla eritieteen aloilla. Suurten ominaisarvo-ongelmien numeerinen ratkaisu on usein haastavaa ja teoria tarjoaa hyvän numerisen menetelmän ongelmien ratkaisemiseksi, kun matriisiin tehdään pieniä muutoksia. Eniten omninaisarvo-ongelmia ratkaistaan rakennusdynamiikassa, jossa niitä käytetään rakennusten, siltojen ja muiden rakenteiden suunnittelussa, rakenteiden käyttäytymisen ja värähtelyjen analysoimiseksi.This work introduces perturbation theory: its central purpose, the scientific motivation for undertaking this work, as well as the Gerschgorin’s theorem and the derivatives of eigenvalues and eigenvectors which are related to the topic. The focus of this work is particularly on matrix perturbation, with the goal of answering the question of how a matrix’s eigenvalues, their corresponding eigenvectors, and other matrix-related properties change when the original matrix encounters a small perturbation or disturbance. Perturbation analysis yields either a perturbation expansion or perturbation bounds. The expansion estimates the amount of perturbation in a function when the perturbation in its argument is known. Perturbation bounds restrict the amount of perturbation in an individual argument and can be classified into various categories. Different classes of matrices behave differently when subjected to perturbation, which is why different classes of matrices have their unique perturbation bounds and expansions. The most significant limitation of the theory is the size of the perturbation. The theory works best when the perturbation or changes are sufficiently small. If the perturbation is too large, the accuracy of the approximations deteriorates. Derivatives of eigenvalues and Gerschgorin’s theorem are not direct perturbation bounds, but they provide information that can be utilized in the theory. Derivatives of eigenvalus describe their changes concerning the matrix parameters or variables, such as the perturbation parameter ϵ. Derivatives can be used to estimate how eigenvalues change due to the perturbation. Gerschgorin’s theorem helps determine the eigenvalues’ approximate location on the complex plane, as the eigenvalues lie within the union of Gerschgorin disks. Perturbation theory is applied in engineering across various subfields. Solving large eigenvalue problems is often challenging, and the theory offers an effective numerical method for solving such problems when small changes are made to the matrix. Eigenvalue problems are most commonly solved in structural dynamics, where they are used in the design of buildings, bridges, and other structures, as well as for analyzing structural behavior and vibrations.Description
Supervisor
Hakula, HarriThesis advisor
Hakula, HarriKeywords
perturbaatioteoria, ominaisarvo-ongelma, Gerschgorinin teoreema, ominaisarvojen ja-vektorien derivaatat