Existence, Uniqueness, and Stability of Nonlinear Initial Value Problems

No Thumbnail Available

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.

Date

2024-09-03

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

47

Series

Abstract

We investigate systems of first-order nonlinear ordinary differential equations (ODEs) of the form y′(t) := (y1'(t),..., yn'(t)) = (f1(t, y1,..., yn),..., fn(t, y1,..., yn)) =:f(t, y) in n-dimensional Euclidean space. These equations describe the derivative of a vector-valued function in terms of itself y(t) :=(y1(t),..., yn(t)) in Rn and the independent real variable t. When we specify the value of the unknown function at a point, the ODE forms an initial value problem (IVP). We establish conditions that ensure a unique solution to the IVP. These conditions are primarily based on the Banach fixed-point theorem. The thesis includes the Picard-Lindelöf theorem, which guarantees a unique solution within a compact interval. Additionally, we introduce the less commonly known Rosenblatt’s condition for the existence and uniqueness of solutions in compact intervals. We demonstrate that Rosenblatt’s condition generalizes the Lipschitz condition, and it can sometimes be applied when the Picard-Lindelöf theorem may not suffice. Furthermore, we explore the existence and uniqueness of solutions across various domains. A significant result is the existence and uniqueness of a non-extendable solution within any arbitrary open domain, given that f is locally Lipschitz with respect to y in the domain. We also present a global existence and uniqueness theorem. The IVP admits a unique global solution if it satisfies either Rosenblatt’s condition for all (t, y) in Rn+1 or a local Lipschitz condition with respect to y for all (t, y) in Rn+1, with the local Lipschitz constant being a non-negative continuous function of t. In addition, we analyze the stability of stationary points in autonomous ODEs. Autonomous ODEs are y′ = f(y), where the derivative depends solely on y, independent of the variable t. A stationary point is a constant solution y∗ where f(y∗) = 0. We employ A.M. Lyapunov’s theory to study stability, considering Lyapunov stability, asymptotic stability, and exponential stability. We determine the stability of stationary points using Lyapunov functions, which can be considered generalized energy functions for ODEs. Moreover, we can also examine the eigenvalues of the Jacobian matrix of f(y) at a stationary point to identify whether these constant solutions are asymptotically stable or unstable.

I avhandlingen undersöker vi icke-linjära ordinära differentialekvationssystem av formen y′(t) := (y1′(t),..., yn'(t)) = (f1(t, y1(t),..., yn(t)),..., fn(t, y1(t),..., yn(t))) =:f(t, y) i det n-dimensionella euklidiska rummet. Dessa ekvationer beskriver förhållandet mellan derivatan av den okända vektorfunktionen y(t) := (y1(t),..., yn(t)) i Rn med avseende på den själv och den oberoende variabeln t. Då värdet på den okända vektorfunktionen y specificeras vid en punkt bildas ett begynnelsevärdesproblem. Vi inför villkor på begynnelsevärdesproblemet som säkerställer lösningens existens och entydighet. Dessa resultat baseras främst på Banachs fixpunktssats. Vi introducerar Picard-Lindelöfs sats och Rosenblatts villkor, vilka garanterar en entydig lösning inom ett kompakt intervall. Vi visar att Rosenblatts villkor generaliserar Lipschitz-villkoret och att det ibland kan tillämpas då Picard-Lindelöfs sats inte är tillämplig. Vi undersöker även existens och entydighet inom olika definitionsmängder för differentialekvationen. Ett signifikant resultat är att det är tillräckligt för f att uppfylla ett lokalt Lipschitz-villkor med avseende på y inom en öppen definitionsmängd för att begynnelsevärdesproblemet ska ha en entydig och icke-förlängningsbar lösning. Vi presenterar också en sats om global existens och entydighet. Begynnelsevärdesproblemet tillåter en entydig global lösning om det uppfyller Rosenblatts villkor för alla (t, y) i Rn+1 eller om det uppfyller ett lokalt Lipschitz-villkor med avseende på y för alla (t, y) i Rn+1, där den lokala Lipschitz-konstanten är en kontinuerlig och icke-negativ funktion av t. Vi studerar dessutom stabiliteten av stationära punkter för autonoma ickelinjära ordinära differentialekvationer. En autonom differentialekvation är av formen y′ = f(y), där derivatan endast beror på y och är oberoende av variabeln t. En stationär punkt är en konstant lösning y∗ där f(y∗) = 0. Vi använder Lyapunovs stabilitetsteori som betraktar Lyapunov-stabilitet, asymptotisk stabilitet och exponentiell stabilitet. Vi kan undersöka stabiliteten av stationära punkter med hjälp av Lyapunov-funktioner, som kan betraktas som generaliserade energifunktioner för differentialekvationen. Vi kan även undersöka egenvärdena för Jacobianen av f vid den stationära punkten för att avgöra om den är asymptotiskt stabil eller instabil.

Description

Supervisor

Tölle, Jonas

Thesis advisor

Tölle, Jonas

Keywords

Systems of first-order nonlinear ordinary differential equations, initial value problems, IVP, existence and uniqueness of solutions, Picard iteration, Rosenblatt’s condition

Other note

Citation