Sobolevin funktiot metrisellä avaruudella
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Helsinki University of Technology |
Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Location:
P1 Ark TF80
P1 Ark TF80
Authors
Date
Major/Subject
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
fi
Pages
76
Series
Abstract
Tässä työssä käsitellään kirjallisuuden pohjalta yhtä mahdollista kandidaattia Sobolevin avaruuksien määritelmäksi metrisellä mitta-avaruudella, Newtonin avaruutta. Se perustuu polkuparven modulin avulla saatavaan heikon ylägradientin käsitteeseen. Ensimmäiset tulokset ovat Newtonin avaruuksien täydellisyys ja määritelmän yhtyminen sopivalla tulkinnalla tavalliseen heikkojen derivaattojen avulla määriteltyyn Sobolevin avaruuteen euklidisessa tilanteessa. Yleisen teorian jatkokehitys vaatii kaksi oletusta, mitan tuplaavuuden ja Poincarén epäyhtälön. Ensimmäisen oletuksen avulla saadaan käyttöön Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktiota koskevat klassiset tulokset ja toinen antaa tavan hyödyntää näitä tuloksia Sobolevin funktioihin. Ensimmäinen tuplaavuuden ja Poincarén epäyhtälön avulla saatava tulos on se, että Lipschitz-funktiot ovat tiheässä Newtonin avaruudessa. Tämä tulos on metrisen avaruuden vastine klassisten Sobolevin avaruuksien approksimaatio-ominaisuuksille. Sen avulla saadaan todistettua kvasijatkuvuustuloksia Sobolevin funktioille. Sovelluksien, esimerkiksi variaatiolaskennan, kannalta tärkeät nollareuna-arvoiset Sobolevin avaruudet saadaan myös määriteltyä metrisessä ympäristössä. Tästä aiheesta työn päätulos on kahden luonnollisen määrittelytavan, nollajatkeiden ja Lipschitz-funktioiden täydellistämisen, yhtyminen kohtuullisilla oletuksilla. Viimeisenä Sobolevin funktioiden perusominaisuutena käsitellään Sobolevin upotuslauseita. Tekemällä hiukan aiempaa vahvempi oletus pallojen mitasta saadaan perinteinen Rieszin potentiaaliin perustuva menetelmä upotuslauseiden todistamiseksi toimimaan myös metrisessä avaruudessa.Description
Supervisor
Kinnunen, JuhaThesis advisor
Nevanlinna, OlaviKeywords
Sobolev spaces, Sobolevin avaruudet, modulus, moduli, upper gradient, ylägradientti, capacity, kapasiteetti, doubling measures, tuplaavat mitat, Poincaré inequality, Poincarén epäyhtälö, Lipschitz functions, Lipschitz-funktiot, quasicontinuity, kvasijatkuvuus, Riesz potential, Rieszin potentiaali, Sobolev embedding theorems, Sobolevin upotuslauseet