The Discontinuity of Phase Transition in the Planar Random-cluster model with q>4

No Thumbnail Available

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.

Date

2024-09-10

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

47

Series

Abstract

The random-cluster model, also known as FK percolation, has been a subject of wide interest in recent years among mathematical physicists working with probabilistic models in statistical mechanics. Originally developed in 1969, the model unifies three distinct probabilistic models: Bernoulli percolation, the Ising model, and the Potts model. A key phenomenon common to many percolation models, as well as in statistical mechanics in general, is the occurrence of a phase transition, where the model - or the medium - undergoes a substantial structural change at a critical point. This thesis examines this particularly interesting property of the random-cluster model on the planar graph Z 2. Specifically, we focus on the continuity of the phase transition, aiming to prove that the phase transition is discontinuous when the parameter q of the model exceeds 4, following a recent paper by Ray and Spinka [1]. This paper utilizes the Baxter-Kelland-Wu coupling between FK percolation and the six-vertex model. The proof’s objective is to derive a contradiction to the assumption of a continuous phase transition. This assumption implies that two separate measures of the six-vertex model (defined through the BKW coupling) are in fact the same measure. Simultaneously, the height function of the six vertex model is shown to behave differently under these two measures, meaning the measures cannot be the same, and hence the contradiction. In the first sections we discuss some fundamental results concerning the randomcluster model, including what we mean by a discontinuous phase transition, and the free and wired random-cluster measures, which arise as limits of a finite graph with boundary conditions extending to an infinite graph.

Satunnaisklusterimalli (eng. the random-cluster model), joka tunnetaan myös paremmin FK-perkolaatiomallina (eng. FK percolation), on noussut viime vuosikymmeninä yhdeksi merkittävimmistä tutkimuskohteista niille matemaattisen fysiikan tutkijoille, jotka ovat erikoistuneita statististisen mekaniikan todennäköisyysmalleihin. Vuonna 1969 kehitetty malli yhdistää kolme erillistä todennäköisyysmallia: Bernoulli-perkolaation, Ising-mallin, sekä Potts-mallin. Eräs keskeinen ilmiö, jota sekä perkolaatiomalleilla että yleisemmillä statistisen fysiikan teorioilla tutkitaan, on faasimuutos. Faasimuutoksessa aineen rakenne muuttuu olennaisesti kriittisessä pisteessä; perkolaatiomalleissa muutos kohdistuu mallin tuottamiin konfiguraatioihin. Tämä kandidaatintyö tutkii faasimuutoksia tasossa määritellyssä FK-perkolaatiomallissa. Erityisesti työ keskittyy siihen, ovatko faasimuutokset tässä mallissa jatkuvia, kun erästä mallin parametria q kasvatetaan. Työssä osoitetaan, että faasimuutokset muuttuvat jatkuvista epäjatkuviksi, kun parametri q ylittää arvon neljä. Tämän todistamiseksi työssä määritellään ensin todennäköisyysmitta tapahtumille, jotka ilmenevät äärettömässä tasossa. Tämä todennäköisyysmitta määritellään raja-arvojen avulla hyödyntäen kahta vastakkaista reunaehtoa, jotka tunnetaan vapaana ja yhdistettynä reunaehtona (eng. free and wired boundary conditions). Näiden reunaehtojen perusteella määritelty mitta jakautuu vapaan reunaehdon mittaan ja yhdistetyn reunaehdon mittaan. Työssä esiteltävä todistus epäjatkuvasta faasimuutoksesta perustuu Gourab Rayn ja Yinon Spinkan vuonna 2019 julkaisemaan artikkeliin [1], jossa esitellään kaksi uutta todennäköisyysmallia ja muodostetaan Baxter-Kelland-Wu -kytkentä niiden välille. Epäjatkuva faasimuutos todistetaan oikeaksi johtamalla ristiriita, joka syntyy olettamalla päinvastoin, että faasimuutos on jatkuva silloin kun mallin parametri on suurempi kuin neljä. Toisessa Baxter-Kelland-Wu -kytkennän malleista, eli kuuden verteksin mallissa (eng. the six-vertex model), voidaan määritellä korkeusfunktio. Tämän korkeusfunktion avulla työssä johdetaan ristiriita satunnaisklusterimallin ja jatkuvan faasimuutoksen välille. Ristiriita saadaan tarkastelemalla tiettyä satunnaiskävelyä kuuden verteksin mallissa, kun siihen on laskettu korkeusfunktion arvot.

Description

Supervisor

Peltola, Eveliina

Thesis advisor

Ryan, Kieran

Keywords

FK perkolaatio, tason satunnaisklusterimalli, perkolaatio, faasimuutos, Baxter-Kelland-Wu -kytkentä, kuuden verteksin malli

Other note

Citation