Konformikuvausten konstruoiminen yhdesti yhtenäisiltä kompleksitason alueilta kanonisille alueille
No Thumbnail Available
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Helsinki University of Technology |
Diplomityö
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Authors
Date
2007
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
fi
Pages
125
Series
Abstract
Tämän diplomityön tarkoituksena on tutkia numeerisia konformikuvausmenetelmiä Jordan-alueilta yksikkökiekoksi tai ylemmäksi puolitasoksi. Pääpaino on oskulaatioalgoritmeissa, joita on tutkittu edellisten vuosikymmenten aikana suhteellisen vähän. Työ sisältää kolme keskeistä teoreettista tulosta, jotka ovat aiemmin tunnettuja, mutta joiden painoarvo tässä tutkimuksessa on huomattava. Ensinnäkin, Joukowskin muunnoksella voidaan paikallisesti alentaa konformista tiheyttä, mutta toisaalta se lähestyy asymptoottisesti lineaarikuvausta kompleksista ääretöntä kohti mentäessä. Toiseksi, Schwarzin ja Christoffelin kaava yksikkökiekolle toimii vain, jos kulmien summaa koskeva ehto täyttyy. Yleensä tätä ehtoa on perusteltu vain geometrisen mielikuvan perusteella, mutta tässä se on sen sijaan todistettu täsmällisesti tekemällä integrointimuuttujan vaihto ja tutkimalla niitä edellytyksiä, millä kertoimet kumoavat toisensa. Kolmanneksi, yrittämällä oikaista alueen reunalla sijaitsevaa sisäänpäin avautuvaa terävää kulmaa murtopotenssilla, saattavat Riemannin pinnat taittua päällekkäin, mikäli kuvattava alue ei ole konveksi. Tämä konformisuuden rikkova ilmiö voidaan välttää hakemalla ensin kuvattavan alueen konveksikuori ja soveltamalla murtopotenssia siihen. Näistä ensimmäistä ja kolmatta on hyödynnetty Joukowskin muunnoksen algoritmin ja terävän sisäkulman algoritmin tietokonetoteutuksessa MATLAB:illa. Saatujen selvitysten mukaan on oletettavaa, että näin saatu yhdistetty menetelmä olisi uusi tai sisältäisi ainakin osittain uusia ideoita. Numeeristen testien perusteella vaikuttaa siltä, että Grassmanin algoritmia ja Joukowskin muunnoksen algoritmia voidaan käyttää elementtimenetelmän esiratkaisijana. Tämä auttaa tarkkuuden parantamiseen ja laskennan nopeuttamiseen tilanteissa, joissa Dirichlet'n ja Neumannin reunaehdoilla varustetut reunat muodostavat ulospäin aukeavan terävän kulman.Description
Supervisor
Eirola, TimoThesis advisor
Rasila, AnttiKeywords
conformal mapping, konfirmikuvaukset, osculation, oskulaatioalgoritmit, algorithms, kompleksianalyysi, complex analysis, numeeriset menetelmät, numerical methods