A review of beam models based on modified couple-stress theory

Thumbnail Image

Files

bachelor_Westerlund_Sam_2025.pdf (3.29 MB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Engineering | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-12-08

Department

Major/Subject

Civil engineering

Mcode

Degree programme

Bachelor's Programme in Engineering
Insinööritieteiden kandidaattiohjelma
Kandidatprogrammet i ingenjörsvetenskap

Language

en

Pages

47

Series

Abstract

It has been observed that beams of micrometer scale are stiffer than what classical beam theories predict. This is due to the microstructure of the material. Simulating the bending of microscopic beams at the atomic level is not practically feasible, and therefore continuum theories with nonlocal forces and additional material parameters are used instead. The modified couple-stress theory is one such theory which introduces a length scale parameter that accounts for the influence of the material microstructure. This thesis is a review of beam models within modified couple-stress theory. The beams are assumed to be isotropic and to have a constant cross-sectional geometry. Three beam models of increasing complexity are considered. They are the Euler–Bernoulli, Timoshenko–Ehrenfest, and Reddy–Bickford beam models. Each model is studied within both classical continuum theory and modified couple-stress theory. The beam models are examined by describing their kinematic assumptions and deriving the governing differential equations and boundary conditions. This is done by using variational calculus and the principle of minimum total potential energy. The different beam models are compared by computing the displacement, rotation, shear force, and bending moment of a thick cantilever beam subjected to a point load at its free end. The comparison between the classical models and the models based on modified couple-stress theory is performed by varying the value of the length scale parameter. The results show that the predicted stiffness increases with larger values of the length scale parameter. They also indicate that the Euler–Bernoulli model generally produces the stiffest response among the three models, while the Reddy–Bickford and Timoshenko–Ehrenfest models yield very similar results, with the Reddy–Bickford model being slightly stiffer.

Det har observerats att balkar i mikrometerskala är styvare än vad klassiska balkteorier förutspår. Detta beror på materialets mikrostruktur. Att simulera böjning av mikroskopiska balkar på atomnivå är inte möjligt i praktiken, och därför används istället kontinuumteorier med icke-lokala krafter och ytterligare materialparametrar. Modifierad spänningsparteori (modified couple-stress theory) är en av dessa teorier och introducerar en längdparameter som representerar mikrostrukturens inverkan. Genom att låta längdparametern gå mot noll återfås den klassiska kontinuumteorin. Detta kandidatarbete är en översyn av balkmodeller inom modifierad spänningsparteori. Balkarna antas vara av isotropa material och ha konstant tvärsnittsarea. Följande tre balkmodeller av ökande komplexitet behandlas: Euler–Bernoulli, Timoshenko–Ehrenfest och Reddy–Bickford. Dessa tre delas upp i en klassisk modell och en modell baserad på modifierad spänningsparteori. Euler–Bernoulli-modellen antar att inga skjuvspänningar uppstår i balken och att tvärsnittsytor förblir vinkelräta mot balkens längdaxel. Timoshenko–Ehrenfest-modellen tillåter skjuvspänningar, men antar att den är konstant över tvärsnittet. Reddy–Bickford-modellen antar att skjuvspänningen varierar som ett tredjegradspolynom över balkhöjden och att den är noll vid balkens övre och nedre ytor. Balkmodellerna behandlas genom att beskriva deras kinematiska antaganden och härleda deras differentialekvationer och randvillkor. Detta görs genom att minimera balkens totala potentiella energi med hjälp av variationskalkyl. För att formulera den totala potentiella energin beräknas balkens deformationsenergi och arbetet som de yttre krafterna utför. De olika balkmodellerna jämförs genom att beräkna förskjutning, rotation, skjuvkraft och böjmoment för en tjock konsolbalk som belastas av en punktlast i sin fria ända. Jämförelsen mellan de klassiska modellerna med modellerna baserade på modifierad spänningsparteori görs genom att variera värdet på längdparametern. Från resultaten kan man se att modellerna ger styvare resultat ju större värde på längdparametern som används. Resultaten tyder också på att Euler–Bernoulli-modellen generellt ger det styvaste resultatet av de tre modellerna, medan Reddy–Bickford- och Timoshenko–Ehrenfest-modellerna ger mycket liknande resultat, där Reddy–Bickford är något styvare.

Description

Supervisor

Vornanen, Camilla

Thesis advisor

Khakalo, Sergei

Keywords

beam model, beam theory, continuum mechanics, modified couple stress, size effect, higher order shear deformation, timoshenko–ehrenfest, reddy–bickford

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202512199499

Collections

[kand] Insinööritieteiden korkeakoulu / ENG