## Lebesgue theorem for functions of bounded variation

 dc.contributor Aalto-yliopisto fi dc.contributor Aalto University en dc.contributor.advisor Kinnunen, Juha dc.contributor.author Lahti, Panu dc.contributor.department Matematiikan ja systeemianalyysin laitos fi dc.contributor.school Perustieteiden korkeakoulu fi dc.contributor.school School of Science en dc.contributor.supervisor Kinnunen, Juha dc.date.accessioned 2020-12-23T17:34:55Z dc.date.available 2020-12-23T17:34:55Z dc.date.issued 2011 dc.description.abstract Functions of bounded variation, abbreviated BV functions, are locally integrable functions whose weak first partial derivatives are Radon measures. Thus they form a more general class of functions than Sobolev functions, whose weak first partial derivatives are locally integrable functions. Some of the most central results derived for BV functions include a compactness result, the coarea formula, and versions of the Sobolev and Poincaré inequalities. The characteristic functions of so-called sets of finite perimeter form an interesting special case of BV functions. For these sets we can define the reduced boundary, which is a subset of the topological boundary. It turns out that in the neighborhood of the reduced boundary the set resembles a half space in a measure theoretic sense. Further, we can define the measure theoretic boundary of a set. This is also a subset of the topological boundary and closely resembles the reduced boundary in a measure theoretic sense. Utilizing this and other minor results we can prove a strong result about the structure of the reduced boundary: it is made up of compact subsets of smooth hyper-surfaces. In addition, the Radon measure that acts as the derivative of the set of finite perimeter is simply the Hausdorff measure restricted to the reduced boundary. According to the co-area formula, the level sets of BV functions are sets of finite perimeter. This enables us to apply the aforementioned results to general BV functions. It turns out that BV functions are (with the choice of a suitable representative) measure theoretically continuous apart from "jumps" over smooth hyper-surfaces. This is expressed in an exact manner in the Lebesgue theorem for BV functions. The result is substantially stronger than the Lebesgue theorem for functions that are merely integrable, but weaker than the corresponding result for Sobolev functions. en dc.description.abstract Rajoitetusti heilahtelevat funktiot eli BV-funktiot (engl. bounded variation) ovat lokaalisti integroituvia funktioita, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat Radon-mittoja. Ne muodostavat siis yleisemmän funktioluokan kuin Sobolevin funktiot, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat lokaalisti integroituvia funktioita. Keskeisimpiä BV-funktioille päteviä tuloksia ovat kompaktisuustulos, coarea-kaava sekä Sobolevin ja Poincarén epäyhtälöiden versiot. Mielenkiintoisen BV-funktioiden erikoistapauksen muodostavat niin sanottujen äärellisperimetristen joukkojen karakteristiset funktiot. Tällaisille joukoille voidaan määritellä redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Osoittautuu, että lähellä redusoitua reunaa joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta. Edelleen voidaan määritellä joukon mittateoreettinen reuna, joka on myös topologisen reunan osajoukko ja muistuttaa mittateoreettisessa mielessä hyvin paljon redusoitua reunaa. Muun muassa tätä tietoa hyödyntäen voidaan todistaa vahva tulos redusoidun reunan rakenteesta: se koostuu sileiden hyperpintojen kompakteista osajoukoista. Lisäksi äärellisperimetrisen joukon derivaattana toimiva Radon-mitta on itse asiassa vain Hausdorffin mitta rajoitettuna redusoidulle reunalle. Coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukot ovat äärellisperimetrisiä joukkoja, mikä mahdollistaa mainittujen tulosten soveltamisen yleisiin BV-funktioihin. Osoittautuu, että BV-funktiot ovat (sopiva edustaja valiten) mittateoreettisesti jatkuvia lukuun ottamatta "hyppyjä" yli sileiden hyperpintojen. Täsmällisesti tämä tulee ilmaistuksi BV-funktioiden Lebesguen lauseessa. Tulos on olennaisesti vahvempi kuin pelkästään integroituville funktioille saatava Lebesguen lause, joskin heikompi kuin Sobolevin funktioille saatava. fi dc.format.extent 61 dc.identifier.uri https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/99482 dc.identifier.urn URN:NBN:fi:aalto-2020122358309 dc.language.iso fi en dc.programme.major Matematiikka fi dc.programme.mcode Mat-1 fi dc.rights.accesslevel closedAccess dc.subject.keyword bounded variation en dc.subject.keyword rajoitettu heilahtelu fi dc.subject.keyword variation measure en dc.subject.keyword variaatiomitta fi dc.subject.keyword perimeter measure en dc.subject.keyword perimetrimitta fi dc.subject.keyword reduced boundary en dc.subject.keyword redusoitu reuna fi dc.subject.keyword measure theoretic boundary en dc.subject.keyword mittateoreettinen reuna fi dc.subject.keyword structure theorem en dc.subject.keyword struktuurilause fi dc.subject.keyword Lebesgue theorem en dc.subject.keyword Lebesguen lause fi dc.title Lebesgue theorem for functions of bounded variation en dc.title Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause fi dc.type.okm G2 Pro gradu, diplomityö dc.type.ontasot Master's thesis en dc.type.ontasot Pro gradu -tutkielma fi dc.type.publication masterThesis local.aalto.digiauth ask local.aalto.digifolder Aalto_92531 local.aalto.idinssi 42796 local.aalto.openaccess no