Lebesgue theorem for functions of bounded variation

No Thumbnail Available
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science | Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Date
2011
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
fi
Pages
61
Series
Abstract
Functions of bounded variation, abbreviated BV functions, are locally integrable functions whose weak first partial derivatives are Radon measures. Thus they form a more general class of functions than Sobolev functions, whose weak first partial derivatives are locally integrable functions. Some of the most central results derived for BV functions include a compactness result, the coarea formula, and versions of the Sobolev and Poincaré inequalities. The characteristic functions of so-called sets of finite perimeter form an interesting special case of BV functions. For these sets we can define the reduced boundary, which is a subset of the topological boundary. It turns out that in the neighborhood of the reduced boundary the set resembles a half space in a measure theoretic sense. Further, we can define the measure theoretic boundary of a set. This is also a subset of the topological boundary and closely resembles the reduced boundary in a measure theoretic sense. Utilizing this and other minor results we can prove a strong result about the structure of the reduced boundary: it is made up of compact subsets of smooth hyper-surfaces. In addition, the Radon measure that acts as the derivative of the set of finite perimeter is simply the Hausdorff measure restricted to the reduced boundary. According to the co-area formula, the level sets of BV functions are sets of finite perimeter. This enables us to apply the aforementioned results to general BV functions. It turns out that BV functions are (with the choice of a suitable representative) measure theoretically continuous apart from "jumps" over smooth hyper-surfaces. This is expressed in an exact manner in the Lebesgue theorem for BV functions. The result is substantially stronger than the Lebesgue theorem for functions that are merely integrable, but weaker than the corresponding result for Sobolev functions.

Rajoitetusti heilahtelevat funktiot eli BV-funktiot (engl. bounded variation) ovat lokaalisti integroituvia funktioita, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat Radon-mittoja. Ne muodostavat siis yleisemmän funktioluokan kuin Sobolevin funktiot, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat lokaalisti integroituvia funktioita. Keskeisimpiä BV-funktioille päteviä tuloksia ovat kompaktisuustulos, coarea-kaava sekä Sobolevin ja Poincarén epäyhtälöiden versiot. Mielenkiintoisen BV-funktioiden erikoistapauksen muodostavat niin sanottujen äärellisperimetristen joukkojen karakteristiset funktiot. Tällaisille joukoille voidaan määritellä redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Osoittautuu, että lähellä redusoitua reunaa joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta. Edelleen voidaan määritellä joukon mittateoreettinen reuna, joka on myös topologisen reunan osajoukko ja muistuttaa mittateoreettisessa mielessä hyvin paljon redusoitua reunaa. Muun muassa tätä tietoa hyödyntäen voidaan todistaa vahva tulos redusoidun reunan rakenteesta: se koostuu sileiden hyperpintojen kompakteista osajoukoista. Lisäksi äärellisperimetrisen joukon derivaattana toimiva Radon-mitta on itse asiassa vain Hausdorffin mitta rajoitettuna redusoidulle reunalle. Coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukot ovat äärellisperimetrisiä joukkoja, mikä mahdollistaa mainittujen tulosten soveltamisen yleisiin BV-funktioihin. Osoittautuu, että BV-funktiot ovat (sopiva edustaja valiten) mittateoreettisesti jatkuvia lukuun ottamatta "hyppyjä" yli sileiden hyperpintojen. Täsmällisesti tämä tulee ilmaistuksi BV-funktioiden Lebesguen lauseessa. Tulos on olennaisesti vahvempi kuin pelkästään integroituville funktioille saatava Lebesguen lause, joskin heikompi kuin Sobolevin funktioille saatava.
Description
Supervisor
Kinnunen, Juha
Thesis advisor
Kinnunen, Juha
Keywords
bounded variation, rajoitettu heilahtelu, variation measure, variaatiomitta, perimeter measure, perimetrimitta, reduced boundary, redusoitu reuna, measure theoretic boundary, mittateoreettinen reuna, structure theorem, struktuurilause, Lebesgue theorem, Lebesguen lause
Other note
Citation