aalto1 untyped-item.component.html
Gromov-Witten theory and virtual localization
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
Language
en
Pages
69
Series
Abstract
Gromov-Witten theory is a curve counting theory in modern enumerative geometry, developed rigorously in the 1990s. The theory is based on the notion of a stable map from a curve to an ambient space and counts of such maps are obtained via intersection theory in the space parametrizing such maps. Many technical tools have been developed for computations in Gromov-Witten theory and perhaps the most important of these is the virtual localization formula. The goal of this thesis is to present the statement, proof and applications of this result.
In order to apply the localization formula in Gromov-Witten theory, it must be proved for geometric objects called stacks. The theorem concerns the so-called virtual classes in the Chow group of a stack and thus in order to give a rigorous statement, one has to define three things: stacks, their Chow groups and virtual classes. The definitions are somewhat involved, mostly scattered in several original papers and often ignored in introductory material. This thesis presents the essential constructions and results of the original papers. The proof of the localization theorem is then based on the definition of virtual classes and properties of Chern classes on stacks.
The rest of the thesis focuses on applications of the localization theorem in Gromov-Witten theory. Before the applications, a general introduction to Gromov-Witten theory is presented. More specifically, the stack of stable maps is constructed and some important geometric properties of stable maps are proved. The virtual localization formula is then applied to the Gromov-Witten theory of the projective line. In particular, using an explicit formula for the localization, Hurwitz numbers are expressed as integrals of tautological classes in the moduli space of curves. As another application, the explicit formula is used to evaluate so-called Hodge integrals. These examples illustrate the interesting and non-trivial consequences of the localization theorem.
Gromovin–Wittenin teoria on modernin enumeratiivisen geometrian osa-alue, jossa pyritään laskemaan käyrien lukumääriä jossain ympäröivässä avaruudessa. Teorian matemaattisesti täsmällinen perusta muotoiltiin tarkasti 1990-luvulla ja pohjautuu niin sanotun stabiilin kuvauksen käsitteeseen. Gromovin–Wittenin teoriassa on käytössä monia teknisiä työkaluja, joista mahdollisesti tärkein on virtuaaliluokan lokalisaatiolause. Tämän työn tavoitteena on esittää lauseen täsmällinen muotoilu ja todistus sekä sovelluksia Gromovin–Wittenin teoriassa.
Jotta lokalisaatiolausetta voidaan soveltaa Gromovin–Wittenin teoriassa, se täytyy muotoilla skeemoja yleisemmille geometrisille objekteille, joita kutsutaan pinoiksi. Lokalisaatiolause koskee pinojen virtuaaliluokkia, jotka ovat luokkia pinojen Chow-ryhmässä. Lauseen täsmällistä muotoilua varten tulee siis määritellä kolme asiaa: pinot, niiden Chow-ryhmät ja virtuaaliluokat. Näiden objektien tarkat määritelmät ovat suhteellisen teknisiä ja hajallaan useissa alkuperäisissä artikkeleissa ja tässä työssä on tavoitteena antaa tiivis, mutta täsmällinen yhteenveto näiden artikkeleiden tärkeimmistä tuloksista. Lokalisaatiolauseen todistus perustuu virtuaaliluokan määritelmään ja Chern-luokkien ominaisuuksiin pinoilla.
Lokalisaatiolauseen todistuksen jälkeen työssä esitellään lokalisaatiolauseen sovelluksia Gromovin–Wittenin teoriassa. Gromovin–Wittenin teorian perusteiden esittelyn jälkeen keskitytään projektiviisen suoran tapaukseen ja sovelletaan lokalisaatiolausetta kahdessa esimerkissä. Ensimmäiseksi näytetään, miten Hurwitz-luvut voidaan esittää niin sanottujen tautologisten luokkien integraaleina, ja toiseksi johdetaan suljettu muoto niin sanotuille Hodge-integraaleille. Molemmat esimerkit havainnollistavat lokalisaatiolauseen mielenkiintoisia ja epätriviaaleja seurauksia.