Analysis of Optical Tomography with Non-Scattering Regions

Thumbnail Image

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Helsinki University of Technology | Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Location:
P1 Ark TF80

Authors

Date

2000

Department

Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto

Major/Subject

Matematiikka

Mcode

Mat-1

Degree programme

Language

en

Pages

67

Series

Abstract

Työssä käydään läpi optisen tomografian matemaattista analyysia tilanteessa, jossa tutkittavaan voimakkaasti sirottavaan kappaleeseen, esimerkiksi ihmisaivot, sisältyy alueita, joissa siroamista ei tapahdu. Tärkeimpänä päämääränä on rakentaa sopiva valon etenemismalli, joka johtaa hyvin määriteltyyn suoraan ongelmaan. Sirottamattomien alueiden paikan ja muodon määrittäminen on myös tarkastelun kohteena. Valon etenemistä biologisessa kudoksessa mallinnetaan usein säteilyn kuljetusyhtälön diffuusioapproksimaatiolla, joka on oikeutettu, mikäli väliaine on voimakkaasti sirottavaa. Luonnollisesti tämä oletus ei päde läpinäkyville alueille. Näin ollen tarvitaan toinenkin malli, joka löydetään geometrisen optiikan avulla. Näiden kahden mallin yhdistäminen johtaa elliptiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön, jolla on reunaehdot sekä alueen ulkoreunalla että sirottamattomien alueiden reunoilla. Sisemmillä reunoilla reunaehdon välittää integraalioperaattori G, jolle johdetaan muutamia kauniita tuloksia spektraalianalyysin avulla. Näitä käytetään tavallisten elliptisten ODY:iden käsittelymenetelmien ohella suoran ongelman heikon ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden todistamiseen. Työssä tarkastellaan myös joitain yksinkertaisia numeerisia esimerkkejä. Jotta itse optiseen tomografiaan liittyvää inversio-ongelmaa voitaisiin lähteä käsittelemään tehokkaasti, tarvitaan tietoa sirottamattomien alueiden sijainnista ja muodosta. Tätä päämäärää silmällä pitäen esitellään aluederivaatan käsite. Työssä todistetaan, että aluederivaatta on olemassa kahdessa ulottuvuudessa, mikäli läpinäkyvä alue on aidosti konveksi. Aluederivaatan olemassaoloa ei käsitellä kolmessa ulottuvuudessa tai tapauksessa, jossa sirottamaton alue ei ole konveksi. Työssä esitellään myös konveksien sirottamattomien alueiden etsimiseen tarkoitettu algoritmi. Numeerisia esimerkkejä ei kuitenkaan käsitellä. Työn esitystapa on varsin itseriittoinen; joidenkin funktionaalianalyysin perustulosten todistukset tosin sivuutetaan.

Description

Supervisor

Somersalo, Erkki

Keywords

optical tomography, optinen tomografia, non-scattering regions, sirottamattomat alueet, domain derivative, aluederivaatta, radiative transfer equation, säteilyn kuljetusyhtälö, diffusion approximation, diffuusioapproksimaatio, inverse problems, inversio-ongelmat

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-2020120447428

Collections

[dipl] Teknillinen korkeakoulu / TKK