Algebraic number theory: On generic well-rounded lattices

Abstract

Recently, well-rounded (WR) lattices and in particular, well-rounded lattices with high sphere packing density and a low kissing number, have been proposed as good candidates for lattices used in lattice coset codes in wiretap channels. Generic well-rounded (GWR) lattices are WR lattices with minimal kissing number, and thus potential options for lattice coset codes.

In this work, we explore Lagrangian lattices, which emerge from certain types of number fields, and their sublattices, which interestingly turn out to be GWR under some assumptions about their parameters. We develop bounds for the center density, a common measure of sphere packing density, of a WR sublattice of a Lagrangian lattice, and further, characterize when a sublattice is equivalent to either the orthogonal lattice Zn or the root lattice An.

We present new constructions of so-called deformed lattices -- we call these Dnalpha and E8alpha, which are an attempt to capture the good packing density of the lattices Dn and E8, while being GWR. We investigate the center densities of these lattices and develop conditions under which scaled variants of these lattices are sublattices of Zn.

Nyligen har välrundade (VR) gitter, och i synnerhet välrundade gitter med hög packningstäthet och ett lågt kysstal, visat sig vara goda kandidater för koder som baserar sig på gittersidoklasser, som används i avlyssningskanaler. Generiska välrundade (GVR) gitter är VR gitter med ett möjligast lågt kysstal, och därmed potentiella alternativ för dessa typers koder.

I detta arbete undersöker vi Lagrangian gitter, som uppkommer ur vissa slags algebraiska talkroppar, samt deras undergitter, som intressant nog visar sig vara GVR under vissa antaganden gällande deras parametrar. Vi utvecklar gränser för centerdensiteten, ett vanligt mått på packningstätheten, för ett VR undergitter av ett Lagrangian gitter och vidare, karakteriserar när undergittret är ekvivalent med antingen det ortogonala gittret Zn eller gittret An.

Vi presenterar nya konstruktioner av så kallade deformerade gitter -- vi kallar dessa Dnalfa och E8alfa. Dessa deformerade gitter har god packningstäthet så som Dn och E8, medan de är GVR. Vi undersöker centerdensiteten för dessa gitter och utvecklar villkor under vilka skalade versioner av dem är undergitter av Zn.