Optimization of Projection Geometries in X-ray Tomography
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2021-10-19
Department
Major/Subject
Applied Mathematics
Mcode
SCI3053
Degree programme
Master’s Programme in Mathematics and Operations Research
Language
en
Pages
61+10
Series
Abstract
In X-ray tomography, the inner structure of an object is reconstructed based on X-ray projections taken from different perspectives. In general, the number of projections should be kept low in order to limit the dose of radiation. The reconstruction problem with a limited number of projections is an ill-posed inverse problem and the reconstruction quality is affected by the choice of projection geometries, i.e., the experimental design. This thesis considers Bayesian inversion and Bayesian optimal experimental design in X-ray tomography. The application of a Gaussian prior results in an offline optimization of the projection geometries without feedback from any measurements, whereas a total variation (TV) prior leads to an online optimization that promotes reconstructions characterized by areas with almost constant values and clearly defined edges. This thesis presents the derivation of the so called lagged diffusivity iteration which leads to a Gaussian approximation of the TV prior. The main contributions are (1) a convergence proof for the lagged diffusivity iteration in discrete X-ray imaging, (2) derivation of a gradient that can be applied in the optimization of projection geometries, and (3) numerical experiments employing the proposed gradient and analogously derived second order derivatives. Although the proposed gradient is mostly sufficiently accurate, excessive numerical errors can appear locally. Gradient descent suffers from convergence to local optima in the long run, which can be countered to some extent by using multiple random initializations. Statistically speaking, the errors in the gradient seem to have minor impact on the reconstruction errors while they make the efficient use of line search methods difficult. Excessive errors in the analogously derived Hessian presumably make the use of Newton's method infeasible.Röntgentomografiassa kappaleen sisäinen rakenne rekonstruoidaan eri suunnista otettujen röntgenprojektioiden avulla. Yleisesti ottaen projektioiden lukumäärä tulisi pitää pienenä säteilyannoksen rajoittamiseksi. Rekonstruointitehtävä rajatulla määrällä projektioita on huonosti asetettu inversio-ongelma ja valitut projektiosuunnat, toisin sanoen koeasetelma, vaikuttavat rekonstruktion laatuun. Tämä työ käsittelee Bayesilaista inversiota ja Bayesilaista optimaalista koeasetelmaa röntgentomografiassa. Gaussisen priorin käyttäminen johtaa optimointiin ilman palautetta mittauksista, kun taas totaalivariaatiopriorin käyttäminen johtaa optimointiin, joka käyttää mittausdataa ja suosii ratkaisuja, joissa on tyypillisesti lähes vakioarvoisia teräväreunaisia alueita. Työssä johdetaan niin sanottu viivytetyn diffuusion iteraatio, joka tuottaa Gaussisen approksimaation totaalivariaatiopriorille. Työn pääkontribuutiot ovat (1) suppenemistodistus viivytetyn diffuusion iteraatiolle diskreetissä röntgentomografiassa, (2) projektiogeometrioiden optimointiin soveltuvan gradientin johtaminen ja (3) työssä esitettyä gradienttia ja vastaavalla tavalla johdettuja toisen asteen derivaattoja käsittelevät numeeriset kokeet. Vaikka työssä esitetty gradientti on pääasiassa tarpeeksi tarkka, suuria numeerisia virheitä voi esiintyä paikallisesti. Gradienttihaku kärsii pitkässä juoksussa paikallisiin minimeihin suppenemisesta, mitä pystyy tiettyyn pisteeseen saakka välttämään käyttämällä useita satunnaisia alustuksia optimoinnille. Tilastollisesti gradientin virheillä näyttäisi olevan vain pieni vaikutus rekonstruktion virheisiin, joskin ne tekevät viivahakumenetelmien tehokkaasta käytöstä vaikeaa. Suuret virheet vastaavalla tavalla johdetussa Hessen matriisissa tekevät oletettavasti Newtonin menetelmästä käyttökelvottoman.Description
Supervisor
Hyvönen, NuuttiThesis advisor
Hyvönen, NuuttiKeywords
X-ray tomography, Bayesian inversion, Bayesian optimal experimental design, A-optimality, total variation, lagged diffusivity iteration