Numerical Methods in Statistical EIT

Thumbnail Image

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Helsinki University of Technology | Diplomityö
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author

Authors

Date

2003

Department

Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto

Major/Subject

Matematiikka

Mcode

Mat-1

Degree programme

Language

en

Pages

82

Series

Abstract

Impedanssitomografia (EIT) on kuvantamismenetelmä, jolla selvitetään kaksi tai kolmiulotteisen kappaleen sähkömagneettisia ominaisuuksia perustuen kappaleen reunalla tehtäviin mittauksiin. Tässä työssä tuntematon on skalaariarvoinen johtavuusjakauma, kappaleeseen syötetään virtoja sen reunalle kiinnitettyjen elektrodien avulla ja virtojen aiheuttamat potentiaalit mitataan. Työn tarkoitus on esitellä menetelmiä, joiden voidaan melko yleisesti sanoa sopivan hyvin EIT-ongelman numeeriseen ratkaisemiseen. Lisäksi menetelmiä sovelletaan yksinkertaisen esimerkkitapauksen ratkaisemiseen. Numeerisen ratkaisemisen vaatima laskennallinen työmäärä on yleensä suuri ja riippuu sovellettujen menetelmien tehokkuudesta. Tavoitteena on löytää työmäärältään mahdollisimman halpoja menetelmiä. Työssä keskitytään käänteisongelman Bayeslaiseen ratkaisemiseen, jossa tehtävän tuntematonta mallinnetaan tiettyä todennäköisyysjakaumaa, nk. posteriorijakaumaa noudattavana satunnaismuuttujana. Posteriori jakauman ominaisuuksia estimoidaan nk. MCMC-menetelmien (Markov chain Monte Carlo) avulla. MCMC menetelmät ovat tilastollisia algoritmeja, joilla voidaan tuotettaa otoksia mielivaltaisista todennäköisyysjakaumista. Tavoitteena kehittää algoritmi, joka konvergoisi mahdollisimman nopeasti, ts. vaatisi mahdollisimman pienen otoksen tuottamista. Posteriorijakauman ominaisuuksien arvioiminen vaatii diskreetin suoran ongelman toistuvaa ratkaisemista. Toinen tärkeä tavoite onkin löytää mahdollisimman nopea lineaarialgebrallinen menetelmä suoran ongelman ratkaisemiseen. Tilastollisen menetelmän antamia estimaatteja verrataan regularisoidun pienimmän neliösumman menetelmien antamiin estimaatteihin. Simulaatioissa rajoitutaan yksinkertaiseen tapaukseen, jossa vakiojohtavuudesta etsitään anomaliaa, ts. pientä poikkeamaa. Tehokas menetelmä pienten poikkeamien löytämiseksi on tarpeellinen käytännön sovelluksissa. Esimerkkitapausta vastaava kasvain pehmeässä kudoksessa. Saatujen tulosten perusteella on selvää, että kunnollisen numeerisen ratkaisun löytäminen on usein mahdotonta, mikä johtuu ongelman erittäin häiriöalttiista ja epälineaarisesta luonteesta. Tilastollisen menetelmän antamat tulokset ovat selvästi parempia kuin pienimmän nelisumman menetelmän ratkaisut vain, jos johtavuusjakaumasta tiedetään etukäteen tarpeeksi paljon. Erityisesti tapauksessa, jossa johtavuus on luonteeltaan hyvin epäjatkuva tilastollinen menetelmä on edullinen.

Description

Supervisor

Somersalo, Erkki

Keywords

electrical impedance tomography (EIT), impedanssitomografia (EIT), Bayesian statistics, Bayesialainen statistiikka, Markov chain Monte Carlo (MCMC), MCMC, linear algebra, lineaarialgebra

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-2020120450060

Collections

[dipl] Teknillinen korkeakoulu / TKK