Schauder-estimaatti

Simple item page
dc.contributorAalto-yliopistofi
dc.contributorAalto Universityen
dc.contributor.advisorKorte, Riikka
dc.contributor.authorHelanti, Lassi
dc.contributor.schoolPerustieteiden korkeakoulufi
dc.contributor.supervisorKorte, Riikka
dc.date.accessioned2018-06-01T11:34:58Z
dc.date.available2018-06-01T11:34:58Z
dc.date.issued2018-05-08
dc.description.abstractEräs työkalu elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkeavuuden todistamisessa on jatkuvuusmenetelmä, englanniksi method of continuity. Tällä menetelmällä voidaan osoittaa, että tutkittavan yhtälön ratkaisun olemassaolo seuraa jonkin samankaltaisen yhtälön ratkeavuudesta. Ennakkotietoina tarvitaan kuitenkin a priori estimaatteja yhtälön ratkaisuille. Nämä ovat ylärajoja ratkaisufunktion arvojen vaihtelulle, ja ne pätevät sillä oletuksella, että ratkaisufunktio on olemassa. Tässä työssä johdetaan Schauder-estimaatit elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden Dirichlet-ongelman ratkaisuille. Nämä ovat a priori estimaatteja, jotka määräävät ylärajan ratkaisufunktion Hölder-normeille. Ylärajat riippuvat sekä tutkittavan yhtälön parametreista että ratkaisufunktion ääriarvoista yhtälön määrittelyalueessa. Todistamme aluksi Poissonin yhtälölle paikalliset Schauder-estimaatit. Kyseessä ovat estimaatit, jotka pätevät tutkittavan yhtälön määrittelyalueen mielivaltaisen pisteen jossain ympäristössä. Poissonin yhtälölle saatujen tulosten avulla todistetaan paikalliset estimaatit yleiselle elliptiselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle, josta Poissonin yhtälö on erikoistapaus. Lopulta paikallisista estimaateista kootaan koko yhtälön määrittelyalueessa pätevä globaali Schauder-estimaatti. Tämä on työn päätulos.fi
dc.description.abstractA theorem called method of continuity can be used to prove the existence of solutions to elliptic partial differential equations. This theorem can be used to show, that the existence of solution to chosen form of elliptic partial differential equation follows from solvability of some known similar equation. However, to be able to use the method, one needs a priori estimates for the solutions of the studied equation. These are upper bounds for relevant norms of solution functions, that hold for any existing solution. In this thesis we prove Schauder estimates for the solutions of elliptic partial differential equations. These are a priori estimates, that provide upper bounds for the Hölder norms of the solution functions. The bounds may depend both on the parameters of the studied equation and on the supremum norm of the solution. We begin by proving local Schauder estimates for Poisson's equation. These are estimates that hold in some neighbourhood of arbitrary point in the domain of the equation. Next we use these estimates to prove local estimates for general elliptic partial differential equation. Poisson's equation is a special case of such equations. Finally we use the local results to prove a global Schauder estimate for the general elliptic partial diffential equation, which holds in the whole domain of the equation. This is the main result of this thesis.en
dc.format.extent97
dc.identifier.urihttps://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/31552
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:aalto-201806012979
dc.language.isofien
dc.programmeMaster’s Programme in Mathematics and Operations Researchfi
dc.programme.majorMathematicsfi
dc.programme.mcodeSCI3054fi
dc.subject.keywordSchauder-estimaattifi
dc.subject.keywordosittaisdifferentiaaliyhtälöfi
dc.subject.keywordelliptinenfi
dc.subject.keywordHölder-normifi
dc.titleSchauder-estimaattifi
dc.titleSchauder estimateen
dc.typeG2 Pro gradu, diplomityöfi
dc.type.ontasotMaster's thesisen
dc.type.ontasotDiplomityöfi
local.aalto.electroniconlyyes
local.aalto.openaccessno
Files
Collections
[dipl] Perustieteiden korkeakoulu / SCI