Parabolic bounded mean oscillation and Muckenhoupt weights
Loading...
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Doctoral thesis (article-based)
| Defence date: 2024-06-06
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Author
Date
2024
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
59 + app. 183
Series
Aalto University publication series DOCTORAL THESES, 112/2024
Abstract
This thesis further develops the parabolic theory of functions of bounded mean oscillation (BMO) and Muckenhoupt weights motivated by one-sided maximal functions and a doubly nonlinear parabolic partial differential equation of p-Laplace type. The definition of parabolic BMO consists of two conditions on the mean oscillation of a function, one in the past and the other one in the future with a time lag between the estimates. Various parabolic John–Nirenberg inequalities, which give exponential decay estimates for the oscillation of a function, are shown in the natural geometry of the partial differential equation. We extend and complement the existing theory for the parabolic Muckenhoupt Aq weights and obtain a complete theory for the limiting parabolic Muckenhoupt A1 class including factorization and characterization results. In particular, an uncentered parabolic maximal function with a time lag is applied leading to a more streamlined theory. Weighted norm inequalities are shown for the parabolic maximal function which allows us to establish parabolic versions of the Jones factorization and the Coifman–Rochberg characterization. The other endpoint class of parabolic Muckenhoupt A∞ weights is also discussed and new characterizations are discovered in terms of quantitative absolute continuity with a time lag. Furthermore, this is considered from the perspective of parabolic reverse Hölder inequalities. We obtain several characterizations and self-improving properties for the weights satisfying a parabolic reverse Hölder inequality and study their connection to parabolic Muckenhoupt weights. Parabolic Muckenhoupt weights satisfy the parabolic reverse Hölder inequality, whereas the reverse direction is investigated in terms of a parabolic doubling condition with a time lag. Essential tools in the parabolic theory include delicate parabolic Calderón–Zygmund decompositions, good lambda estimates, covering and chaining arguments. In addition to parabolic BMO, different function spaces of BMO type are studied in the setting of metric measure spaces with a doubling measure. We consider the John–Nirenberg space defined via medians and a weak version of the Gurov–Reshetnyak class. Moreover, we show the corresponding John–Nirenberg inequalities and discuss their consequences. The John–Nirenberg lemma for the median-type John–Nirenberg space gives a polynomial decay estimate for the oscillation of a function. On the other hand, the John–Nirenberg lemma for the weak Gurov–Reshetnyak class provides a specific decay estimate.Väitöskirjassa tutkitaan parabolista rajoitetun keskivärähtelyn funktioluokkaa (BMO) ja parabolisia Muckenhouptin painoja, joiden teoria on motivoitu yksipuolisilla maksimaalifunktioilla ja kaksinkertaisesti epälineaarisilla p-Laplacen tyyppisillä osittaisdifferentiaaliyhtälöillä. Parabolinen BMO koostuu kahdesta funktion keskivärähtelyyn liittyvästä ehdosta, joiden välillä on aikaviive. Ensimmäinen ehto arvioi värähtelyä menneisyydessä ja toinen ehto puolestaan tulevaisuudessa. Useita eri parabolisia John–Nirenbergin epäyhtälöitä näytetään osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luontaisessa geometriassa. Epäyhtälöt antavat eksponentiaalisen vaimenemisarvion funktioiden värähtelylle. Työssä laajennetaan ja täydennetään parabolisten Muckenhouptin Aq painojen nykyteoriaa sekä luodaan täydellinen teoria paraboliselle Muckenhouptin A1 ääriluokalle sisältäen faktorointi- ja karakterisaatiotulokset. Teorian kehittämiseen sovelletaan epäkeskitettyä parabolista maksimaalifunktiota aikaviiveellä sekä sen painotettuja normiepäyhtälöitä. Näiden avulla johdetaan paraboliset versiot Jonesin faktoroinnista ja Coifman–Rochbergin karakterisaatiosta. Lisäksi tutkitaan toista parabolisten Muckenhouptin painojen A∞ ääriluokkaa. Luokalle osoitetaan uusia karakterisaatiotuloksia perustuen kvantitatiiviseen absoluuttiseen jatkuvuuteen aikaviiveellä. Teoriaa lähestytään myös parabolisten käänteisten Hölderin epäyhtälöiden näkökulmasta, joiden luokalle todistetaan useita karakterisaatiotuloksia ja itseparantuvuusominaisuuksia. Sen lisäksi selvitetään kyseisen luokan yhteyttä parabolisiin Muckenhouptin painoihin. Paraboliset Muckenhouptin painot toteuttavat parabolisen käänteisen Hölderin epäyhtälön, kun taas käänteistä suuntaa tarkastellaan aikaviiveellisen parabolisen tuplausehdon avulla. Olennaisia työkaluja parabolisessa teoriassa ovat muun muassa paraboliset Calderón–Zygmundin hajotelmat, hyvä-lambdan estimaatit, peite- ja ketjutusargumentit. Parabolisen BMO:n ohella tutkitaan erilaisia BMO-tyyppisiä funktioavaruuksia metrisissä mitta-avaruuksissa tuplaavalla mitalla. Erityisesti käsitellään John–Nirenbergin avaruutta mediaaneilla ja heikkoa versiota Gurov–Reshetnyakin luokasta sekä vastaavia John–Nirenbergin epäyhtälöitä ja niiden seurauksia. Mediaanityyppisen John–Nirenbergin avaruuden John–Nirenbergin epäyhtälö antaa funktioiden värähtelylle polynomisen vaimenenisarvion. Sen sijaan heikon Gurov–Reshetnyakin luokan vastaava lause antaa spesifisen vaimenemisarvion värähtelylle.Description
Supervising professor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandThesis advisor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandKeywords
parabolic BMO, parabolic Muckenhoupt weights, John–Nirenberg inequality, parabolic maximal function, reverse Hölder inequality, one-sided weights, doubly nonlinear equation, Gurov–Reshetnyak class, John–Nirenberg space, median, doubling measure, metric space, Parabolinen BMO, paraboliset Muckenhouptin painot, John–Nirenbergin epäyhtälö, parabolinen maksimaalifunktio, käänteinen Hölderin epäyhtälö, yksipuoliset painot, kaksinkertaisesti epälineaarinen yhtälö, Gurov–Reshetnyakin luokka, John–Nirenbergin avaruus, mediaani, tuplaava mitta, metrinen avaruus
Other note
Parts
-
[Publication 1]: Kim Myyryläinen. Median-type John–Nirenberg space in metric measure spaces. Journal of Geometric Analysis, Volume 32, Article number 131, February 2022.
Full text in Acris/Aaltodoc: https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202203032104DOI: 10.1007/s12220-022-00872-9 View at publisher
-
[Publication 2]: Juha Kinnunen, Kim Myyryläinen and Dachun Yang. John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Volume 387, pp. 1125-1162, December 2023.
Full text in Acris/Aaltodoc: https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202401171461DOI: 10.1007/s00208-022-02480-y View at publisher
-
[Publication 3]: Kim Myyryläinen. Weak Gurov–Reshetnyak class in metric measure spaces. Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 152, pp. 2103-2116, May 2024.
DOI: 10.1090/proc/16704 View at publisher
-
[Publication 4]: Juha Kinnunen and Kim Myyryläinen. Characterizations of parabolic Muckenhoupt classes. Advances in Mathematics, Volume 444, Article Number 109612, May 2024.
Full text in Acris/Aaltodoc: https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202404113016DOI: 10.1016/j.aim.2024.109612 View at publisher
-
[Publication 5]: Juha Kinnunen and Kim Myyryläinen. Characterizations of parabolic reverse Hölder classes. Submitted to a journal, Available at arXiv: 2310.00370, September 2023.
DOI: 10.48550/arXiv.2310.00370 View at publisher