Rumin-kompleksi ja Maxwellin yhtälöt Heisenbergin ryhmässä

Simple item page
dc.contributorAalto-yliopistofi
dc.contributorAalto Universityen
dc.contributor.advisorPeltonen, Kirsi
dc.contributor.authorHelenius, Tomi
dc.contributor.schoolPerustieteiden korkeakoulufi
dc.contributor.supervisorPeltonen, Kirsi
dc.date.accessioned2015-11-19T10:55:52Z
dc.date.available2015-11-19T10:55:52Z
dc.date.issued2015-11-03
dc.description.abstractTässä työssä esitellään Heisenbergin ryhmän differentiaalimuotojen avaruuden ominaisuuksia, konstruoidaan yksityiskohtaisesti sen aliavaruuteen sopivalla differentiaalikuvauksella varustettu Rumin-kompleksi sekä luodaan konkretiaa kompleksin toimintaan vetämällä yhteyksiä Euklidisen avaruuden differentiaaligeometriaan. Rumin-kompleksi liittyy Heisenbergin ryhmän kontraktirakenteen vektorikenttiin vastaavasti, kuin de Rham -kompleksi kolmiulotteisiin Euklidisiin vektorikenttiin, mikä mahdollistaa gradientin, roottorin ja divergenssin määrittelemisen horisontaalisille vektoreille. Tällaisen vektorianalyysin yleistyminen Heisenbergin ryhmälle puolestaan mahdollistaa Maxwellin yhtälöiden kirjoittamisen Heisenbergin ryhmän horisontaalisille sähkö- ja magneettikentille. Tätä varten muodostetaan reaalisesta aikaulottuvuudesta ja Heisenbergin ryhmästä muodostuva aika-avaruusryhmä, jonka Rumin-kompleksi riippuu Heisenbergin ryhmän Rumin-kompleksista suhteellisen yksinkertaisella tavalla. Maxwellin yhtälöiden formulaatio aika-avaruusryhmän differentiaalimuodoilla toimii muodollisesti samalla tavalla kuin Euklidisista differentiaalimuodoista rakentuvassa pseudo-Riemannin aika-avaruudessa, mutta se osoittautuu ominaisuuksiltaan erilaiseksi. Heisenbergin ryhmän sähkö- ja magneettikentät ovat nimittäin kaksiulotteisia, horisontaalinen roottori on muodoltaan hyvin epätriviaali toisen asteen operaatio, sekä Lorentz-muunnokset eivät sekoita aikaa ja avaruutta keskenään.fi
dc.description.abstractIn this thesis we present some key properties of the space of differential forms in the Heisenberg group, construct in detail the Rumin-complex as its subspace with a suitable differential map, as well as establish some concrete connections to the differential geometry of the Euclidean space. The Rumin-complex connects to the vector fields of the contact structure in the Heisenberg group analogously to how the de Rham complex connects to the three-dimensional Euclidean vector fields. This in turn enables us to define the gradient, curl and divergence operations for the horizontal vectors, which leads to the possibility of writing the Maxwell equations for the horizontal analogues of electric and magnetic fields. For this we construct from a real time dimension and a Heisenberg group a spacetime group whose Rumin-complex will depend on the Rumin-complex of the Heisenberg group in a relatively simple manner. The formulation of the Maxwell's equations in the spacetime group works formally in the same way as in the Euclidean-based pseudo-Riemannian spacetime but its physical properties turn out to differ. For example the electric and magnetic fields are two-dimensional, the horizontal curl operator is of second order and rather non-trivial in its explicit form, and the Lorentz-transformations do not mix space and time.en
dc.format.extent40 + 6
dc.format.mimetypeapplication/pdfen
dc.identifier.urihttps://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/18641
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:aalto-201511205198
dc.language.isofien
dc.programmeTeknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelmafi
dc.programme.majorMatematiikkafi
dc.programme.mcodeF3006fi
dc.rights.accesslevelopenAccess
dc.subject.keywordHeisenbergin ryhmäfi
dc.subject.keywordRumin-kompleksifi
dc.subject.keywordMaxwellin yhtälötfi
dc.subject.keywordgradienttifi
dc.subject.keywordroottorifi
dc.subject.keyworddivergenssifi
dc.titleRumin-kompleksi ja Maxwellin yhtälöt Heisenbergin ryhmässäfi
dc.titleRumin-complex and Maxwell's equations in the Heisenberg groupen
dc.typeG2 Pro gradu, diplomityöen
dc.type.okmG2 Pro gradu, diplomityö
dc.type.ontasotMaster's thesisen
dc.type.ontasotDiplomityöfi
dc.type.publicationmasterThesis
local.aalto.idinssi52538
local.aalto.openaccessyes
Files
Original bundle
Now showing 1 - 1 of 1
No Thumbnail Available
Name:
master_Helenius_Tomi_2015.pdf
Size:
436.37 KB
Format:
Adobe Portable Document Format
Download
Collections
[dipl] Perustieteiden korkeakoulu / SCI