aalto1 untyped-item.component.html
Rellich's theorem beyond the real line
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3029
Degree programme
Language
en
Pages
29
Series
Abstract
This thesis reviews generalizations of Rellich’s theorem beyond the real line. The main focus is on examining existing generalizations to para-Hermitian matrices, that is, matrices that are Hermitian on the unit circle S1 ⊂ C. Another aim is to extend existing results by showing that matrices that are Hermitian on some curve other than a circle or a line also admit a Rellich-type eigendecomposition.
It can be shown that a para-Hermitian matrix A(z), whose entries and eigenvalues are analytic functions on S1, admits an analytic eigendecomposition of the form A(z) = U(z)D(z)U(z)P, where all the entries of the matrices D(z) and U(z) are analytic on S1. Moreover, the matrix D(z) is diagonal and U(z) is para-unitary, that is, U(z)U(z)P = U(z)PU(z) = I, where U(z)P denotes the para-Hermitian conjugate of U(z). The eigenvalues of para-Hermitian matrices are not necessarily analytic functions, in contrast to Hermitian matrices, whose eigenvalues are always real analytic. Thus, the decomposition described above may not exist. However, it can be shown that a para-Hermitian matrix A(z) always admits an analytic eigendecomposition in which the entries of the matrices D(z) and U(z) are analytic functions of the variable w = z1/N on S1, where N is a positive integer.
Finally, it is shown that, in addition to para-Hermitian matrices, Rellich’s theorem can be generalized to matrices that are Hermitian on a curve that has a Schwarz func- tion. Such a generalization can be obtained by defining an appropriate conjugation operation via the Schwarz function of the curve.
Tässä opinnäytetyössä perehdytään Rellichin teoreeman yleistyksiin reaaliakselin ulkopuolelle. Työn pääasiallisena tavoitteena on tutustua teoreeman olemassa oleviin yleistyksiin para-hermiittisille matriiseille, eli matriiseille, jotka ovat hermiittisiä yksikköympyrällä. Työn toisena tavoitteena on jatkaa olemassa olevaa tutkimusta näyttämällä, että Rellichin teoreeman mukainen ominaisarvohajotelma voidaan löytää myös matriiseille, jotka ovat hermiittisiä jollain muulla käyrällä kuin suoralla tai ympyrällä.
Tiedetään, että para-hermiittiselle matriisille A(z), jonka kaikki alkiot ja omi- naisarvot ovat analyyttisiä funktioita yksikköympyrällä, on olemassa analyyttinen ominaisarvohajotelma A(z) = U (z)D(z)U (z)P , jossa matriisien D(z) ja U (z) alkiot ovat analyyttisiä funktioita yksikköympyrällä. Lisäksi matriisi D(z) on diagonaalinen ja matriisi U(z) on para-unitaarinen eli U(z)U(z)P = U(z)P U(z) = I, jossa matriisi U (z)P on matriisin U (z) para-hermiittinen konjugaatti. Para-hermiittisten matrii- sien ominaisarvot eivät kuitenkaan välttämättä ole analyyttisiä funktioita toisin kuin hermiittisten matriisien ominaisarvot, jotka ovat aina reaalianalyyttisiä. Siksi edellä kuvattua hajotelmaa ei välttämättä ole olemassa. Voidaan kuitenkin osoittaa, että para-hermiittiselle matriisille A(z) on olemassa vastaavanlainen analyyttinen ominaisarvohajotelma, jossa matriisien D(z) ja U(z) alkiot ovat analyyttisiä funk- tioita yksikköympyrällä muuttujan w = z1/N suhteen, kun N on jokin positiivinen kokonaisluku.
Tässä opinnäytetyössä osoitetaan, että para-hermiittisten matriisien lisäksi Rel- lichin teoreema voidaan yleistää myös matriiseille, jotka ovat hermiittisiä jollain kompleksitason käyrällä, jolla on Schwarz-funktio. Tällöin konjugointioperaatio, jonka suhteen matriisi on hermiittinen, määritellään kyseiselle käyrälle ominaisen Schwarz-funktion avulla.