Käyrä taitto ja paloittain litteät pinnat

Thumbnail Image

Files

Päällysaho_Elmo_2025.pdf (8.33 MB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-08-31

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

fi

Pages

34

Series

Abstract

Tässä kandidaatintyössä tutkitaan käyrää taittamista differentiaaligeometrian menetelmin, keskittyen erityisesti ympyrän mukaisiin taitoksiin ja niiden määrittämien mahdollisesti paloittain litteiden pintojen geometriseen analyysiin. Ennen varsinaista taitosanalyysiä työ kokoaa tiiviisti klassisen differentiaaligeometrian tähän liittyvä keskeiset käsitteet: käyrien Frenet‑kehykset, pinnan ensimmäisen ja toisen perusmuodon, Gaussin kaarevuuden sekä kehittyvien pintojen luokittelun. Nämä työkalut muodostavat teoreettisen pohjan, jonka avulla taitosten geometriaa tarkastellaan. Tutkimuksen tavoitteena on ymmärtää, kuinka taittamisen paikalliset geometriset ominaisuudet, kuten kaarevuus ja torsio, vaikuttavat rakenteen globaaliin käyttäytymiseen ja muotoon. Keskeisenä oletuksena työssä on isometrinen taittaminen, jolloin materiaalissa ei tapahdu venymistä, ja muodostuvat pinnat ovat kehittyviä eli niiden Gaussin kaarevuus on nolla. Toisin sanoen saadaan aikaan kappaleita, jotka voivat palautua takaisin tasoon. Työn ensimmäisessä osassa analysoidaan yksittäistä suljetun ympyrän muotoista taitosta Frenet‑ ja Darboux‑kehysten avulla. Tuloksena osoitetaan, että ympyrätaitokselle syntyy aina nollasta poikkeava torsio, minkä seurauksena rakenteen on pakko taipua ulos lähtötasostaan muodostaen kappaleen kolmiulotteiseen avaruuteen. Tämä havainto osoittaa, kuinka paikallinen geometria ja erityisesti torsio määrää suoraan taitoksen globaalia käyttäytymistä. Työn toisessa osassa laajennetaan tarkastelua useisiin samankeskisiin ympyrätaitoksiin. Johdetaan tarkat yhteensopivuusyhtälöt, jotka määrittelevät ehdot sille, miten useat taitokset voivat liittyä yhteen muodostaen yhtenäisen rakenteen. Yhtälöiden perusteella havaitaan, että peräkkäiset taitokset synnyttävät rakenteeseen kumulatiivisia geometrisia rajoitteita, jotka voimistuvat taitosten lukumäärän kasvaessa. Näiden rajoitteiden vuoksi rakenteessa ilmenee väistämättä jännitteitä, jotka pakottavat rakenteen taipumaan pois tasosta. Työn tulokset tarjoavat vahvan matemaattisen perustan käyrän mukaisten taitosten ilmiön ymmärtämiselle sekä osoittavat selkeästi kaarevuuden, torsion ja dihedraalikulman keskeiset roolit rakenteiden lopullisten geometristen ominaisuuksien määrittäjinä. Nämä tulokset luovat pohjaa jatkotutkimukselle sekä sovelluksille aloilla, joilla käyrän taittamiseen perustuvia rakenteita voidaan hyödyntää.

This bachelor’s thesis investigates curved folding by means of classical differential geometry, focusing in particular on circular folds and the geometric analysis of the piecewise flat surfaces they generate. Before the detailed crease analysis, the thesis offers a concise introduction to the key concepts of differential geometry: Frenet frames for curves, the first and second fundamental forms of surfaces, Gaussian curvature, and the classification of developable surfaces. These tools provide the theoretical framework within which the geometry of curved folds are examined. The aim is to understand how local geometric quantities of folding, such as curvature and torsion, influence the global behaviour and shape of the structure. The work proceeds under the central assumption of isometric folding, so the material undergoes no stretching and the resulting surfaces are developable with Gaussian curvature equal to zero everywhere. In principle, the folded bodies can therefore be unfolded back to the plane. In the first part, a single circular fold is analysed by means of the Frenet and Darboux frames. The thesis shows that a closed circular crease always has nonzero torsion, with the consequence that the structure must bend out of its original plane to form a shape in threwe dimensions. This result demonstrates how local geometry, and torsion in particular, directly governs the global behaviour of the fold. The second part extends the analysis to several concentric closed circular folds. Precise compatibility equations are derived to specify the conditions under which multiple folds can join to form a coherent structure. These equations reveal that successive folds introduce cumulative geometric constraints that grow stronger as the number of folds increases. Because of these constraints, the structure inevitably develops an instability that forces it to leave the plane. The results provide a solid mathematical foundation for understanding curved folds and clearly identify curvature, torsion, and dihedral angle as the primary determinants of the final geometric properties. The findings lay the groundwork for further research and practical applications in engineering, architecture, and material science where structures based on curved folding can be employed.

Description

Supervisor

Korte, Riikka

Thesis advisor

Peltonen, Kirsi

Keywords

käyrä taitto, kehittyvät pinnat, paloittain litteät pinnat, Darboux-kehys, Gaussian kaarevuus, torsio

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202509307394

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI