aalto1 untyped-item.component.html
Metric geometry of the Heisenberg group
Loading...
Files
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3029
Degree programme
Language
en
Pages
34
Series
Abstract
The aim of this paper is to introduce the Heisenberg group's metric geometry to the interested bacherlor's student. We intend to provide a literature review that collects proofs of basic results concerning the Heisenberg group's metric geometry in one place and that thus also fills a gap in the literature.
We first introduce the Heisenberg group's basic structure as a Lie group and sub-Riemannian manifold. We define horizontal spaces and horizontal paths, and then go on to show that they are preserved in left translations. Having introduced the Heisenberg group, we are ready to equip it with its natural Carnot-Carathéodory metric that is defined using horizontal paths. We give an alternative characterization of horizontal paths using planar projections that is used to prove that the Carnot-Carathéodory metric is well-defined. Furthermore, we examine some of the properties of the Carnot-Carathéodory metric, such as left invariance and homogeneity with respect to non-isotropic dilations.
We then turn our attention to the other metric that the Heisenberg group is often equipped with, namely the Korányi metric. We show that, just like the Carnot-Carathéodory metric, the Korányi metric is also left invariant and homogeneous with respect to non-isotropic dilations. Moreover, we show that the Korányi metric is topologically equivalent to the standard Euclidean metric. We then use the shared properties of the Carnot-Carathéodory and Korányi metrics to show that they are bilipschitz equivalent.
Finally, we return to study what geodesics or length-minimizing paths look like in the Carnot-Carathéodory metric. Using the alternative characterization of horizontal paths via planar projections and the isoperimetric inequality in the plane, we show that the Carnot-Carathéodory geodesics have a certain structure. We then think about how this proof concerning geodesics in the first Heisenberg group could be generalized to the general Heisenberg group. For this purpose, we end up adapting a proof of the isoperimetric inequality in the plane that uses Wirtinger's inequality to an isoperimetric inequality in R^2n.
Tämän työn tavoitteena on esitellä Heisenbergin ryhmän metristä geometriaa kiinnostuneelle kandidaattitason opiskelijalle. Työ on luonteeltaan kirjallisuuskatsaus, joka kokoaa yhteen Heisenbergin ryhmän metriseen geometriaan liittyviä perustuloksia ja niiden todistuksia, joita on muuten mahdollisesti vaikea löytää kirjallisuudesta.
Työn alussa esitellään Heisenbergin ryhmän olennainen rakenne Lien ryhmänä sekä aliriemannilaisena monistona (engl. sub-Riemannian manifold). Tähän osioon sisältyy horisontaalisten avaruuksien ja horisontaalisten polkujen käsitteiden määrittely sekä todistus kyseisten objektien säilymisestä vasentranslaatioissa (engl. left translations).
Pohjustuksen jälkeen analysoidaan Heisenbergin ryhmää varustettuna sen luonnollisella Carnot-Carathéodoryn metriikalla, joka määritellään horisontaalisten polkujen avulla. Tämän yhteydessä esitellään vaihtoehtoinen muotoilu horisontaalisille poluille tasoprojektioiden avulla, jota käytetään todistamaan Carnot-Carathéodoryn metriikan olevan hyvin määritelty. Lisäksi tarkastellaan Carnot-Carathéodoryn metriikan ominaisuuksia, kuten vaseninvarianssia (engl. left invariance) sekä skaalautumista ei-isotrooppisissa venytyksissä (engl. non-isotropic dilations).
Carnot-Carathéodoryn metriikan käsittelyn jälkeen siirrytään tarkastelemaan Heisenbergin ryhmän Korányin metriikkaa. Työssä näytetään, että Korányin metriikka jakaa Carnot-Carathéodoryn metriikan kanssa vaseninvarianssin ja skaalautumisen ei-isotrooppisissa venytyksissä. Lisäksi Korányin metriikan osoitetaan olevan topologisesti ekvivalentti euklidisen metriikan kanssa. Hyödyntämällä Carnot-Carathéodoryn sekä Korányin metriikkojen jaettuja ominaisuuksia osoitetaan, että metriikat ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentteja.
Lopuksi työssä tutkitaan Carnot-Carathéodoryn metriikan geodeeseja eli lyhimpiä polkuja kahden pisteen välillä. Hyödyntämällä horisontaalisten polkujen tasoprojektioiden tulkintaa sekä isoperimetristä epäyhtälöä tasossa osoitetaan, että Carnot-Carathéodoryn geodeesit ovat rakenteeltaan tietyntyyppisiä. Työssä tarkastellaan myös, miten geodeesien rakenteen todistuksen ensimmäisessä Heisenbergin ryhmässä voisi yleistää yleiselle Heisenbergin ryhmälle. Tätä varten Wirtingerin epäyhtälöä hyödyntävä todistus isoperimetriselle epäyhtälölle tasossa yleistetään vielä lopulta isoperimetriselle epäyhtälölle avaruudessa R^2n.