Isospektraalit rummut: Taajuustarkastelua satunnaistetun lineaarialgebran avulla

Abstract

Tässä kandidaatintyössä tutkitaan satunnaistettua lineaarialgebraa käyttävän protoalgoritmin toimivuutta, eli sen tehokkuutta sekä luotettavuutta. Satunnaistettu lineaarialgebra viittaa satunnaisiin matriiseihin ja vektoreihin sovellettavaan lineaarialgebraan. Satunnaistettua lineaarialgebraa käyttävillä menetelmillä on todettu monien lineaarialgebran ongelmien kohdalla olevan suoritusaikaa lyhentävä ja resursseja säästävä vaikutus. Protoalgoritmia käytetään työssä isospektraalin GWW-rumpuparin värähtelyn ominaistaajuuksien ratkaisemiseen. Erimuotoiset tasoalueet ovat isospektraalit, kun niiden ominaistaajuuksien spektri on identtinen. Työssä alueiden pinnalla pätee Laplace-yhtälö Dirichlet’n reunaehdolla, eli yhtälön ratkaiseva aaltofunktio kuvaa tasojen värähtelyä.

Tarkoituksena on tutkia satunnaistettua lineaarialgebraa hyödyntävän menetelmän toimivuutta erilaisilla algoritmin parametrien arvoilla ja verrata näitä analyyttisesti ratkaistuihin tarkkoihin arvoihin. Lisäksi tutkitaan, kuinka toimiva algoritmi on MATLAB-ohjelmiston perinteistä lineaarialgebraa käyttävään Eigs-funktioon verrattuna. Todellisuudessa informaatio on usein epätäydellistä, ja tämän vuoksi työssä kiinnostuksen kohteena on myös tutkia menetelmän toimivuutta perturboituihin tasoalueisiin. Perturbaatiota simuloidaan muuttamalla tasoalueen diffuusiokerrointa. Huomataan tapauksia, joissa perturboidulle tasoalueelle ei löydetä vastinetta perturboimattomasta tapauksesta, ja tutkitaan hieman tällaisia tapauksia työn osaongelmana.

Tutkimuksessa hyödynnetään Mathematica- ja MATLAB-ohjelmistoja. Mathematicalla saadaan generoitua ongelmaan sopivat massa- ja jäykkyysmatriisit, luotua simuloitu perturbaatio sekä laskettua tasoalueiden värähtelyn tarkat ominaisarvot. Mathematicalla myös visualisoidaan rumpujen eri värähtelymoodeja. MATLABilla ratkaistaan ominaisarvot protoalgoritmilla sekä Eigs-funktiolla.

Saaduista tuloksista voidaan päätellä, että satunnaistetun lineaarialgebran menetelmä on toimiva ratkaisu tukittavaan ongelmaan. Tulosten tarkkuus sekä suoritusaika on hyvin samaa luokkaa MATLABin Eigs-funktion kanssa. Tulee kuitenkin ottaa huomioon, että tutkittava protoalgoritmi on skripti ja Eigs on käännetty numeerinen kirjasto eli matalan tason algoritmi, jonka toteutus vie vähemmän aikaa kuin vastaavan algoritmin toteutus korkean tason skriptinä.