aalto1 untyped-item.component.html
Sharkovsky's Theorem
Loading...
Files
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3029
Degree programme
Language
en
Pages
24
Series
Abstract
Discrete dynamical systems are a mathematical model that is used to analyse iterative processes. The evolution of the system is then modelled by a difference equation, and the central goal is to understand the asymptotic behaviour of all elements of the system. Studying the periodicity of the system often helps us achieve this. Sharkovsky's Theorem formulates a strong relationship between periodic points of one-dimensional functions through the so-called Sharkovsky ordering. In this thesis we state the theorem, followed by a proof which builds on the Intermediate Value Theorem and analysis of periodic orbits. To introduce the methods used in the complete proof, we begin by studying two exceptions of the theorem. One of these consists of proving that a point of period 3, by the Sharkovsky ordering the first period, implies points of all other periods. We also discuss related results and the limitations of the theorem to the real number line. To place Sharkovsky's Theorem in a broader context, we begin the thesis by presenting some elementary theory of discrete dynamical systems. We define among other things periodic and hyperbolic points, as they have a central role in the dynamical structure of a system. The thesis is concluded by a brief introduction to chaotic dynamical systems, a topic closely related to Shakovsky's result.
Diskreta dynamiska system är en matematisk modell som används för att analysera iterativa processer. Systemets utveckling modelleras då genom en differensekvation och det centrala målet är att förstå det asymptotiska beteendet hos alla systemets element. Genom att studera systemets periodicitet kan vi ofta få en bättre förståelse för strukturen som en helhet.
På den reella tallinjen utgörs ett dynamiskt system av en kontinuerlig funktion från ett intervall till sig självt. Sharkovskys sats formulerar ett starkt samband mellan periodiska punkter av endimensionella kontinuerliga funktioner enligt den så kallade Sharkovskyordningen. Denna ordning är total och inkluderar alla naturliga tal. Enligt satsen implicerar en periodisk punkt av period m existensen av en periodisk punkt av period l, för alla l som följer efter m i Sharkovskyordningen.
I avhandlingen formulerar vi Sharkovskys sats, vilket efterföljs av ett bevis som i grund och botten bygger på Satsen om mellanliggande värden samt analys av periodiska banor. För att introducera de metoder som används i den fullständiga härledningen börjar vi med att studera två undantagsfall av satsen. Ett av dessa utgörs av att visa att en punkt av period 3, enligt Sharkovskyordningen den första perioden, implicerar punkter av alla andra perioder. Vi diskuterar även relaterade resultat samt satsens begränsningar till den reella tallinjen.
För att placera Sharkovskys sats i ett bredare sammanhang inleder vi avhandlingen med att presentera grundläggande teori om diskreta dynamiska system. Vi definierar bland annat periodiska och hyperboliska punkter, vilka har en central roll i systemets dynamiska struktur. Vi presenterar även grafisk analys, vilket är en metod för att visualisera specifika punkters banor under iterationen av en funktion.
Avhandlingen avslutas genom en introduktion till kaotiska dynamiska system, ett ämnesområde med nära kopplingar till Sharkovskys resultat. Vi diskuterar olika definitioner av begreppet kaos och presenterar även topologisk konjugering, vilket är ett viktigt verktyg inom analys av kaotiska system.