aalto1 untyped-item.component.html
Minimaalinen p-heikko ylägradientti
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3029
Degree programme
Language
fi
Pages
37
Series
Abstract
Tutkielmassa esitellään minimaalinen p-heikko ylägradientti yleisissä metrisissä avaruuksissa kanditason opiskelijalle. Työ on kirjallisuuskatsaus, jonka tarkoituksena on koota yhteen tietoa analyysin keinojen laajentamisesta metrisiin mitta-avaruuksiin, joissa ei ole olemassa euklidisten avaruuksien lineaarista rakennetta, sileyttä ja muita differentiaalilaskennan kannalta olennaisia ominaisuuksia. Kirjallisuudessa on esitetty useampia vaihtoehtoja gradientin laajennuksille metrisiin avaruuksiin, mutta tässä työssä tarkastellaan erityisesti p-heikkoja ylägradientteja niiden integroituvuuden vuoksi. Lisäksi esitellään p-heikkojen ylägradienttien perustuloksia. Jotta p-heikko ylägradientti voidaan määritellä, esitellään käyräperheiden mitta eli p-moduuli. Tätä varten tarvitaan myös taustateoriaa mitta- ja integraaliteoriasta. Minimaalisen p-heikon ylägradientin avulla voidaan laajentaa euklidisissa avaruuksissa määritellyt klassiset Sobolev-avaruudet yleisiin metrisiin mitta-avaruuksiin. Sobolev-avaruuksien laajennusta metrisiin avaruuksiin p-heikon ylägradientin avulla kutsutaan Newton-avaruudeksi. Lopuksi työssä tarkastellaan Newton-avaruuksien ominaisuuksia sekä p-harmonisia funktioita.