Resolutions and associated primes of powers of ideals

No Thumbnail Available
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Date
2014
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
en
Pages
v + 24 s.
Series
Abstract
Independent sets are subsets of a graph where none of the nodes have links between them. Finding the largest independent subsets and covering a graph by independent subsets are problems commonly encountered in combinatorial optimization. In this thesis we study the independent sets of a graph and more general independence systems with the tools of commutative algebra. We build a poset from the independent sets of a graph and associate an ideal in a commutative ring to it. We calculate the associated primes and the free resolution of this ideal and its powers. We show that the free resolution can be found geometrically as a cell resolution by embedding the poset to a space with as many dimensions as the graph has vertices. Similarly the associated primes can be found by looking for the critical subgraphs which are subgraphs of the graph whose chromatic number is reduced by one when any of the vertices of the graph is removed.

Itsenäiset joukot ovat verkkojen osajoukkoja, joissa solmujen välillä ei ole yhtään linkkiä. Mahdollisimman suurten itsenäisten joukkojen löytäminen ja verkon peittäminen itsenäisillä joukoilla ovat kombinatorisessa optimoinnissa vastaan tulevia ongelmia. Tässä työssä tutkitaan verkkojen itsenäisiä joukkoja ja yleisempiä itsenäisyysrakenteita kommutatiivisen algebran keinoin. Rakennamme verkon itsenäisistä joukoista osittain järjestetyn joukon, johon liitämme kommutatiivisen renkaan ideaalin. Laskemme tälle ideaalille ja sen potensseille assosioidut alkuideaalit sekä vapaan resoluution. Osoitamme, että tämän ideaalin vapaan resoluution pystyy luomaan soluresoluutiona upottamalla osittain järjestetty joukko avaruuteen, jonka ulottuvuuksien määrä on sama kuin verkon solmujen määrä. Vastaavasti assosioitu alkuideaali löytyy analysoimalla verkon kriittisiä aliverkkoja, eli verkkoja joiden kromaattinen luku laskee yhdellä, mikäli mikä tahansa verkon solmuista poistetaan.
Description
Supervisor
Engström, Alexander
Keywords
kommutatiivinen algebra, verkkoteoria, itsenäinen joukko, soluresoluutio, kriittinen aliverkko, kromaattinen luku, commutative algebra, independent set, graph theory, independence structure, simplex, critical subgraph, chromatic number
Other note
Citation