aalto1 untyped-item.component.html
Regularity theory for nonlinear parabolic PDEs: gradient estimates, stability and the obstacle problem
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Doctoral thesis (article-based)
| Defence date: 2022-07-06
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
56 + app. 150
Series
Aalto University publication series DOCTORAL THESES, 82/2022
Abstract
This thesis concerns different aspects of regularity theory for weak solutions of nonlinear parabolic partial differential equations. We focus on such equations with porous medium type and p-growth structure. In particular, we consider solutions which are defined either via a weak formulation of the equation with test functions under the integral sign, or as functions that obey a parabolic comparison principle. Our research concerns the regularity of both the solution and its gradient. For the gradient of a weak solution of porous medium type systems we prove a higher integrability result up to the boundary of the domain. We derive reverse Hölder inequalities in intrinsic cylinders near the boundary, for which we prove a Vitali type covering property that is applied to obtain the higher integrability result. We also show that under suitable assumptions, weak solutions as well as their gradients are stable with respect to small fluctuations of the parameter characterizing the equation. In particular, we prove that solutions to the approximating problems converge to the corresponding solution of the limit problem in the natural parabolic Sobolev space. For the parabolic p-Laplace equation we study supersolutions, which are defined via a parabolic comparison principle. We show that in the fast diffusion case these functions can be divided into two mutually exclusive classes, for which we give several characterizations. An important tool in regularity theory is the obstacle problem, which is also interesting in its own right. In the case of signed obstacles we study Hölder continuity for solutions to the porous medium type equations defined via a variational inequality. We use a De Giorgi type iteration argument to show that solutions to obstacle problems are locally Hölder continuous, provided that the obstacle is Hölder continuous.
Väitöskirjassa tutkitaan säännöllisyysteoriaa eri näkökulmista epälineaaristen parabolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikoille ratkaisuille. Tutkimus keskittyy yhtälöihin, joilla on huokoisen aineen tyyppiset tai p-kasvuehdot. Työssä tarkastellaan erityisesti ratkaisuja, jotka on joko määritelty yhtälön heikon muodon avulla testifunktioita vastaan integroiden, tai jotka kytke-tään yhtälöön käyttäen parabolista vertailuperiaatetta. Tutkimus kohdistuu sekä itse ratkaisun että ratkaisun gradientin säännöllisyyteen liittyviin kysymyksiin. Huokoisen aineen systeemien heikon ratkaisun gradientille todistetaan korkeampi integroituvuus alueen reunalle asti. Gradientille johdetaan käänteisen Hölderin epäyhtälöt lähellä alueen reunaa sellaisissa sylintereissä, joiden geometria on yhtälön rakenteelle ominainen. Kyseisille sylintereille osoitetaan Vitali-tyyppinen peitelause, jota sovelletaan korkeamman integroituvuuden todistuksessa. Väitöskirjassa näytetään myös, että asianmukaisilla oletuksilla sekä heikot ratkaisut että ratkaisujen gradientit ovat stabiileja ongelmaa karakterisoivan parametrin heilahtelujen suhteen. Työssä todistetaan, että approksi-moivien ongelmien ratkaisut suppenevat rajaongelman ratkaisuun luonnollisessa parabolisessa Sobolevin avaruudessa. Parabolisen p-Laplacen yhtälölle tutkitaan superratkaisuja, jotka määri-tellään parabolisen vertailuperiaatteen avulla. Työssä osoitetaan, että nopean diffuusion tapauk-sessa kyseiset superratkaisut voidaan jakaa kahteen erilliseen luokkaan, joille esitetään useita eri karakterisointeja. Esteongelma on tärkeä työkalu säännöllisyysteoriassa mutta myös kiinnostava tutkimuskohde itsessään. Variaatioepäyhtälön avulla määritellyn huokoisen aineen yhtälön este-ongelman ratkaisun Hölder-jatkuvuutta tutkitaan merkkiä vaihtavan esteen tapauksessa. De Giorgi -tyyppistä iteraatioargumenttia soveltaen työssä todistetaan ratkaisun lokaali Hölder-jatkuvuus esteen ollessa Hölder-jatkuva.
Description
Supervising professor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandThesis advisor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandKeywords
nonlinear parabolic system, porous medium equation, weak solution, supercaloric function, reverse Hölder inequality, stability, obstacle problem, Hölder continuity, boundary value problem, epälineaarinen parabolinen systeemi, huokoisen aineen yhtälö, heikko ratkaisu, superkalorinen funktio, käänteinen Hölderin epäyhtälö, stabiilisuus, esteongelma, Hölder-jatkuvuus, reuna-arvo-ongelma
Other note
Parts
- [Publication 1]: Kristian Moring, Christoph Scheven, Sebastian Schwarzacher and Thomas Singer. Global higher integrability of weak solutions of porous medium systems. Communications on Pure and Applied Analysis, Volume 19, Issue 3, pages 1697–1745, March 2020.
DOI: 10.3934/cpaa.2020069 View at publisher
- [Publication 2]: Ratan Kr. Giri, Juha Kinnunen and Kristian Moring. Supercaloric functions for the parabolic p-Laplace equation in the fast diffusion case.Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA, Volume 28, Issue 3, Article number 33, 21 pages, April 2021.
Full text in Acris/Aaltodoc: http://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202106027147DOI: 10.1007/s00030-021-00694-8 View at publisher
- [Publication 3]: Kristian Moring and Rudolf Rainer. Stability for systems of porous medium type. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume506, Issue 1, Article number 125532, 36 pages, February 2022.
Full text in Acris/Aaltodoc: http://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-2021111010075DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.125532 View at publisher
- [Publication 4]: Kristian Moring and Leah Schätzler. On the Hölder regularity for obstacle problems to porous medium type equations. Submitted to a journal, 30 pages, Available at arXiv:2202.11565, June 2022