On estimation of extreme probability contours under multivariate elliptical Fréchet distributions

Thumbnail Image

Files

master_Pere_Jaakko_2021.pdf (698.77 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2021-05-18

Department

Major/Subject

Mathematics

Mcode

SCI3054

Degree programme

Master’s Programme in Mathematics and Operations Research

Language

en

Pages

50

Series

Abstract

In many areas of science, such as in finance or climatology, it is important to model extreme events. In addition, numerous real-life applications involve multivariate data. However, extending extreme value theory (EVT), branch of statistics that studies modeling of extreme events, to the multivariate case is not straightforward as there is no natural way of ordering multivariate observations. In this Master's thesis we focus on one application of EVT - extreme quantile estimation. More precisely, we develop a heuristic extension of a one-dimensional extreme quantile estimator for multivariate elliptical heavy-tailed distributions. First, we review some selected results of one-dimensional EVT and present the one-dimensional extreme quantile estimator. Then we introduce the family of elliptical distributions. We show a very useful stochastic representation for elliptically distributed random variables and discuss estimation of the location and the scatter of an elliptical distribution. Next we present our heuristic extension of the extreme quantile estimator and the finite sample performance of the estimator is assessed in Monte Carlo simulations. In particular, simulations show that the performance of the extreme quantile estimator is superior compared to the traditional sample quantile for sufficiently extreme probability contours. Lastly, we give conclusions and discuss future work.

Monilla tieteen aloilla kuten rahoituksessa ja ilmastotieteessä on tärkeää mallintaa ääri-ilmiöitä. Moniin käytännön sovelluksiin liittyy myös moniulotteista dataa. Ääriarvoteoriaa, tilastotieteen alaa joka tutkii ääri-ilmiöiden mallintamista, on kuitenkin vaikea laajentaa monimuuttuja-asetelmiin. Tämä johtuu siitä, että moniulotteisia havaintoja ei voida järjestää luonnollisella tavalla. Tässä diplomityössä käsitellään yhtä ääriarvoteorian sovelluksista - äärikvantiiliestimointia. Laajennamme yksiulotteisen ääriarvoestimaattorin moniulotteisiin elliptisiin paksuhäntäisiin jakaumiin. Ensin käymme läpi valittuja yksiulotteisen ääriarvoteorian tuloksia ja esitämme yksiulotteisen äärikvantiiliestimaattorin. Tämän jälkeen esittelemme elliptisten jakaumien perheen. Näytämme erityisen hyödyllisen stokastisen esityksen elliptisesti jakautuneille satunnaismuuttujille ja käsittelemme elliptisen jakauman sijainnin ja hajonnan estimointia. Tämän jälkeen esitämme heuristisen laajennuksemme äärikvantiiliestimaattorista ja arvioimme estimaattorin hyvyyttä rajallisille otoksille Monte Carlo simulaatioiden avulla. Simulaatiot näyttävät, että heuristinen äärikvantiiliestimaattori suoriutuu paremmin kuin otoskvantiili riittävän äärimmäisille tasa-arvokäyrille. Viimeiseksi esitämme johtopäätokset ja pohdimme mahdollisuuksia parantaa ja laajentaa tarkasteltua estimattoria.

Description

Supervisor

Ilmonen, Pauliina

Thesis advisor

Ilmonen, Pauliina

Keywords

extreme value theory, quantile estimation, elliptical distributions, robust estimation

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202105236877

Collections

[dipl] Perustieteiden korkeakoulu / SCI