cohomology of the Grassmannian
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2015-06-02
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma
Language
en
Pages
57+6
Series
Abstract
Vector bundles are geometric objects obtained by attaching a real vector space to each point of a given topological space, called the base space, such that these spaces vary continuously. Vector bundles arise in many areas of geometry and analysis, the most notable example being perhaps the tangent bundle of a smooth manifold. In this work we will focus on the special class of complex vector bundles, which are obtained by imposing a complex structure on the real vector spaces in a given bundle. Two central tools in the study of vector bundles are characteristic classes and a classifying space called the Grassmannian. Characteristic classes are natural associations of cohomology classes of the base space to each vector bundle. The main characteristic classes of complex vector bundles are called Chern classes, and they are even-dimensional integral cohomology classes. The Grassmannian, on the other hand, is constructed as the set of subspaces of a fixed dimension of the infinite-dimensional complex vector space C-infinity, and it comes equipped with a tautological vector bundle. In this work we define complex vector bundles and finite and infinite versions of the Grassmannian, and discuss the classifying space nature of the infinite Grassmannian. Then we prove the Thom isomorphism theorem concerning cohomology groups of vector bundles, and use the result to define Chern classes. Finally, we show that the integral cohomology ring of the Grassmannian is a polynomial ring generated by the Chern classes of the tautological bundle.Vektorikimput ovat geometrisia objekteja, jotka voidaan rakentaa kiinnittämällä euklidinen avaruus jonkin topologisen avaruuden, pohja-avaruuden, jokaiseen pisteeseen jatkuvalla tavalla. Vektorikimput ovat keskeisiä monilla geometrian ja analyysin alueilla, ja kenties tärkein esimerkki vektorikimpusta on sileän moniston tangenttikimppu. Tässä työssä keskitytään kompleksisiin vektorikimppuihin, jotka saadaan määrittelemällä kompleksinen rakenne annetun vektorikimpun säikeissä. Kaksi keskeistä työkalua vektorikimppujen tutkimuksessa ovat karakteristiset luokat ja Grassmannin avaruutena tunnettu luokitteluavaruus. Karakteristinen luokka on sääntö, joka liittää jokaiseen vektorikimppuun pohja-avaruuden kohomologialuokan luonnollisella tavalla. Kompleksisten vektorikimppujen pääasiallisia karakteristisia luokkia kutsutaan Chernin luokiksi. Grassmannin avaruus puolestaan on ääretönulotteisen kompleksisen vektoriavaruuden C-ääretön tiettyä dimensiota olevien aliavaruuksien joukko. Grassmannin avaruuteen liitetään myös niin kutsuttu tautologinen vektorikimppu. Tässä työssä määritellään kompleksiset vektorikimput ja Grassmannin avaruuden äärellinen ja ääretön versio sekä kuvataan tapa, jolla ääretön Grassmannin avaruus voidaan ymmärtää luokitteluavaruutena. Tämän jälkeen todistetaan vektorikimppujen kohomologiaryhmiä koskeva Thomin isomorfismilause, ja käytetään kyseistä tulosta Chernin luokkien määrittelemiseen. Lopuksi näytetään, että Grassmannin avaruuden kokonaislukukertoiminen kohomologiarengas on tautologisen kimpun Chernin luokkien virittämä polynomirengas.Description
Supervisor
Kinnunen, JuhaThesis advisor
Freij, RagnarKeywords
complex vector bundle, Grassmannian, cohomology, chern class, thom isomorphism