Simulating Ising Models Using Quantum Circuits

No Thumbnail Available

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Sähkötekniikan korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2024-05-25

Department

Major/Subject

Bioinformaatioteknologia

Mcode

ELEC3016

Degree programme

Sähkötekniikan kandidaattiohjelma

Language

en

Pages

34+4

Series

Abstract

Simulations performed on quantum computers have proven to be promising tools for modeling complex physical systems. Quantum simulation methods can, under suitable conditions, solve problems requiring high resources more efficiently compared to classical methods. Among the major challenges of quantum simulation are not only the design and implementation of the hardware required for implementing quantum circuits, but also the design of complex quantum algorithms. This thesis primarily focuses on the theory behind quantum circuits and the scenarios in which quantum simulation is a potential tool for solving complex problems. The objective of this thesis was to explore how physical systems can be simulated using quantum circuits. The thesis also examined the conditions under which quantum simulation may allow for more efficient simulation compared to classical methods. The process of quantum simulation, in which a physical system is modeled as a quantum circuit, was explored. Once the quantum circuit has been found, quantum simulation can be performed, assuming a sufficiently efficient quantum computer is available. To simulate a physical system, a Hamiltonian operator must first be found. The Hamiltonian operator describes the system's time evolution in matrix form. Depending on the system, the Hamiltonian operator can be found by using, for example, the Ising model. A neural network is one example of a system that can be modeled using the Ising model. Once the Hamiltonian of the system is found, the quantum circuit required for simulation can be found using a suitable quantum algorithm. This thesis explored two different ways to implement the Ising model as a quantum circuit: Hamiltonian decomposition and density matrix exponentiation (DME). The efficiency of the algorithms was analyzed by reviewing literature relevant to the quantum computing field. This thesis also involved a practical simulation, where a quantum circuit suitable for estimating the eigenvalues of the Hamiltonian operator was implemented. The quantum circuit and simulation were implemented using the Python QISKIT programming module. In practice, the simulated circuit could be applied on a Hamiltonian obtained from the Ising model. By solving the Hamiltonian operator's eigenvalues, predictions about the behavior of the original physical system could then be made. By exploring the basics of quantum computers and the quantum simulation process both in theory and in practice, this thesis uncovered how quantum circuits can be utilized in the simulation of physical systems. Quantum simulation can be implemented by approximating the system using the Ising model, after which the Hamiltonian operator provided by the Ising model is implemented as a quantum circuit, for example, using the DME algorithm. Once the quantum simulator is constructed, various aspects of the original system can be evaluated, e.g. by approximating the system's eigenvalues. The DME algorithm may achieve an exponential advantage in finding estimates for the eigenvalues of a system, compared to classical methods. However, an efficient implementation of the algorithm requires a low-rank Hamiltonian, that is, a Hamiltonian with a small number of eigenvalues compared to the operator's size. The algorithm also assumes that the initial state of the simulation is readily available in the quantum simulator's initial state. The practical utilization of quantum simulation tools is also limited due to quantum technology. The error sensitivity of current quantum computers leads to inaccurate results, making the simulation of large systems unfeasible. To harness quantum simulation for practical use in the future, it is essential to continue development in both quantum hardware and quantum algorithms.

Kvanttitietokoneilla suoritettavat simulaatiot ovat osoittautuneet potentiaalisiksi työkaluiksi monimutkaisten fysikaalisten järjestelmien mallintamisessa. Kvanttisimulaation menetelmillä voidaan sopivissa olosuhteissa ratkaista korkeita resursseja vaativia ongelmia eksponentiaalisella nopeudella ja resurssitehokkuudella klassisiin menetelmiin verrattuna. Kvanttisimulaation suurimpiin haasteisiin lukeutuvat paitsi kvanttipiirien toteutukseen vaadittavan laitteiston suunnittelu ja toteutus, myös monimutkaisten kvanttialgoritmien suunnittelu. Tässä työssä keskityttiin pääosin kvanttipiirien taustalla olevaan teoriaan ja siihen, millaisissa tilanteissa kvanttisimulaatio on potentiaalinen työkalu monimutkaisten ongelmien ratkaisemisessa. Työn tavoitteena oli selvittää, miten fysikaalisia systeemeitä voidaan simuloida kvanttipiirien avulla. Työssä selvitettiin myös, minkälaisissa tilanteissa kvanttisimulaatio mahdollistaa tehokkaamman simulaation klassisiin menetelmiin verrattuna. Työssä tutkittiin kvanttisimulaation prosessia, jossa fyysinen systeemi mallinnetaan kvanttipiirinä. Kun kvanttipiiri on tiedossa, kvanttisimulaatio voidaan suorittaa olettaen, että tarpeeksi tehokas kvanttitietokone on saatavilla. Fysikaalisen systeemin simuloimista varten on löydettävä Hamiltonin operaattori, joka kuvaa systeemin aikakehitystä matriisin muodossa. Hamiltonin operaattori voidaan ratkaista systeemistä riippuen mm. Ising-mallia hyödyntäen. Esimerkiksi neuroverkkoja voidaan mallintaa Ising-mallin avulla. Kun systeemin Hamiltonin operaattori on löydetty, voidaan simulaatioon tarvittava kvanttipiiri ratkaista sopivaa kvanttialgoritmia hyödyntäen. Tässä työssä tutustuttiin kahteen eri tapaan toteuttaa Ising-malli kvanttipiirinä: Hamiltonin hajottaminen, sekä tiheysmatriisin eksponentiointi (engl. density matrix exponentiation, DME). Algoritmien tehokkuutta analysoitiin alan kirjallisuuteen perehtymällä. Työssä toteutettiin myös käytännön osuus, jossa muodostettiin Hamiltonin operaattorin ominaisarvojen arvioimiseen soveltuva kvanttipiiri. Kvanttipiiri ja simulaatio toteutettiin Pythonin QISKIT ohjelmointimoduulin avulla. Käytännössä simuloitua piiriä voitaisiin hyödyntää esimerkiksi Ising-mallista saatuun Hamiltonin operaattoriin, jolloin ratkaisemalla ominaisarvot voidaan tehdä ennustuksia alkuperäisen fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä. Perehtymällä kvanttitietokoneiden perusteisiin ja kvanttisimulaatioprosessiin sekä teorian että käytännön tasolla, työssä opittiin, miten kvanttipiirejä voidaan hyödyntää fysikaalisten systeemien simuloimisessa. Kvanttisimulaatio voidaan toteuttaa mallintamalla systeemi aluksi Ising-mallin avulla, jonka jälkeen Ising-mallin antama Hamiltonin operaattori toteutetaan kvanttipiirinä esimerkiksi DME-algoritmin avulla. Kun kvanttisimulaattori ollaan muodostettu, voidaan alkuperäisen systeemin käytöstä arvioida mm. ratkaisemalla systeemin ominaisarvot. DME-algoritmin avulla voidaan ratkaista arviot ominaisarvoille eksponentiaalisella tehokkuudella klassisiin menetelmiin verrattuna. Algoritmin tehokas toteutus vaatii kuitenkin Hamiltonin operaattorin, jossa ominaisarvojen määrä on pieni operaattorin kokoon nähden. Algoritmi olettaa myös, että simulaation alkutila on valmiiksi saatavilla kubitteina. Kvanttisimulaation tarjoamien työkalujen hyödyntäminen käytännössä on rajoittunut myös kvanttiteknologian vuoksi. Tämänhetkisten kvanttitietokoneiden virheherkkyys johtaa epätarkkoihin tuloksiin, jolloin suurien systeemien simuloiminen on käytännössä mahdotonta. Jotta kvanttisimulaatio saadaan tulevaisuudessa hyötykäyttöön, on välttämätöntä jatkaa kehitystyötä sekä kvanttitietokoneiden, että kvanttialgoritmien parissa.

Description

Supervisor

Turunen, Markus

Thesis advisor

Farooq, Ahmad

Keywords

hamiltonian, ising model, quantum circuit

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202406044063

Collections

[kand] Sähkötekniikan korkeakoulu / ELEC