Bishopin-Gromovin tilavuusepäyhtälö alhaalta rajoitetun Riccin kaarevuuden monistoissa

Abstract

Metriikan kaarevuuden vaikutus moniston topologiaan ja metrisiin ominaisuuksiin on klassinen tutkimuskohde Riemannin geometriassa. Yleinen lähestymistapa aiheen tukimuksessa on asettaa jollekin moniston kaarevuuksista jokin rajoitusehto ja tutkia sen aiheuttamia seurauksia.

Tässä työssä asetamme sileän ja täydellisen Riemannin moniston Riccin kaarevuudelle globaalin alarajan. Todistamme Bochnerin-Weitzenböckin kaavan, jonka jälkeen näytämme työn päätuloksena, miten Riccin kaarevuuden alarajan avulla voidaan Bochnerin-Weitzenböckin kaavasta johtaa Bishopin-Gromovin tilavuusepäyhtälö. Epäyhtälö mahdollistaa geodeettisten kuulien tilavuuksien vertailun vastaavien kuulien tilavuuksiin vertailuavaruudessa, jonka leikkauskaarevuus on vakio. Vertailuavaruuden kaarevuus määräytyy Riccin kaarevuudelle asetetusta alarajasta.

Tilavuusepäyhtälön sovelluksena tarkastelemme Riemannin mitan tuplaavuusominaisuuksia lokaalissa sekä globaalissa kontekstissa erilaisilla Riccin kaarevuuden alarajoilla. Lisäksi johdamme tilavuusepäyhtälöstä joitakin tunnettuja metrisiä ja topologisia tuloksia epänegatiivisen Riccin kaarevuuden monistoille.

The topological and metric implications of the Riemannian curvature tensor on a Riemannian manifold is a traditional research question in Riemannian geometry. A common strategy for approaching this is to assume a bound on one of the different curvatures available and examine the topological or metric consequences of bounded curvature.

In this thesis, we assume a global lower bound on the Ricci curvature of a smooth Riemannian manifold. We prove the Bochner-Weitzenböck formula and, as the main result, we show how the Bishop-Gromov inequality follows from Bochner-Weitzenböck formula when the lower curvature bound is assumed. The Bishop-Gromov inequality is establishes a strong method for comparing volumes of geodetic balls with similar balls in a simply connected space with constant sectional curvature.

As an application of the volume inequality proven, we establish conditions on Ricci curvature for local and global doubling properties of Riemannian measure on Riemannian manifolds. We finalize the thesis with a selection of classical metric and topological corollaries of the Bishop-Gromov inequality.