Koszul algebras and resolutions

Abstract

A standard graded k-algebra R is called Koszul, if the residue class field k = R=R+ has a linear R-resolution. This characterization is equivalent to a number of conditions, and implies that R is first of all a quadratic algebra. In addition, it can be shown that the existence of a quadratic Gröbner basis for the defining ideal implies Koszulness. These implications are easily shown to be strict, and little precise information is known what makes an algebra lose or gain the Koszul property. This thesis patches various definitions of Koszulness appearing in the literature together, and as an example of a class of Koszul algebras, considers the resolutions of k over algebras formed from binomial edge ideals of graphs. We give general ranks of the first syzygies, describe explicit resolutions for certain classes of graphs and discuss the combinatorial properties that make algebras formed from edge ideals lose Koszulness on addition of edges.

Koszulin algebrat ovat luokiteltuja k-algebroja R, joiden jäännösluokkakunnalla k = R=R+ on lineaarinen resoluutio. Tämä luonnehdinta on ekvivalentti usean muun kanssa, ja sen seurauksena R on esimerkiksi neliöllinen algebra. Tämän lisäksi voidaan osoittaa, että neliöllisen Gröbnerkannan olemassaolosta algebran R määrittelevälle ideaalille seuraa Koszul-ominaisuus. Nämä implikaatiot ovat helposti osoitettavissa yksisuuntaisiksi, ja vain vähän tiedetään siitä mikä saa algebran menettämään ko. ominaisuus. Tämä diplomityö tuo yhteen eri määritelmiä Koszulin algebroille kirjallisuudesta, ja esimerkkinä luokasta Koszulin algebroita käsittelee graafien reunoihin liitettävien binomisten reunaideaalien määrittelemiä algebroja. Ko. ideaaleille lasketaan ensimmäiset syzygimoduulit ja usealle eri graafiluokalle rakennetaan koko vapaa resoluutio, sekä pohditaan mikä saa algebran menettämään Koszul-ominaisuutensa graafiin reunoja lisättäessä.