On Moment-Based Estimation of Extreme Probability Contours Under Ellipticity
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2021-03-16
Department
Major/Subject
Applied Mathematics
Mcode
SCI3053
Degree programme
Master’s Programme in Mathematics and Operations Research
Language
en
Pages
53
Series
Abstract
We present a moment-based method to estimate extreme probability contours under the assumption that the underlying multivariate distribution belongs to the elliptical family. First, a brief introduction to univariate extreme value theory is provided and properties of the most well known tail-index estimators are described. Moreover, we conduct a number of simulations to illustrate the behavior of the moment-based extreme quantile estimators. Next, we describe how the assumption of ellipticity allows us to convert the multivariate problem of extreme probability contour estimation into a univariate one. Order statistics, an important concept in univariate extreme value theory, is not straightforward to extend into the multivariate setting. This poses a challenge, as answering the question of how extreme an observation is required us to put observations in some sort of order. The assumption of ellipticity simplifies this problem as random observations can be ordered using the corresponding Mahalanobis distances, which can be thought to be a multivariate generalization of standardization by mean and standard deviation. Building on the existing literature, we then propose a methodology to estimate extreme probability contours. First, location and scatter of the observations are estimated so that the corresponding estimated Mahalanobis distances can be computed. Next, we apply the moment-based extreme quantile estimator to obtain an estimate of the distance corresponding to some tail probability. This, with the estimated location and scatter allows us to draw the estimated, elliptical, extreme probability contour. We provide an illustrative example on the proposed method using simulated draws from t-distributions.Tässä työssä esitämme momentteihin pohjautuvan menetelmän moniulotteisten elliptisten jakaumien häntätodennäköisyyksien estimoimiseen. Keskitymme jakauman tasa-arvokäyrien estimoimiseen, minkä voidaan ajatella vastaavan kvantiilien estimointia yksiulotteisessa tilanteessa. Annamme käytännön esimerkin menetelmästä, joka on toteutettu simuloidulla aineistolla. Esittelemme myös yksiulotteisen ääriarvoteorian tärkeimpiä tuloksia, joita voidaan hyödyntää myös moniulotteisessa tapauksessa, erityisesti elliptisten jakaumien analysoinnissa. Jotta voisimme ilmaista, kuinka äärimmäinen jokin on, täytyy havainnot jollain tavalla saada järjestettyä. Järjestyslukujen konsepti ei ole monen muuttujan tapauksessa yhtä suoraviivainen kuin yhden muuttujan tapauksessa. Kun taustalla oleva jakauma on elliptinen, voidaan moniulotteinen aineisto järjestää Mahalanobiksen etäisyyksien avulla. Koska elliptisen satunnaismuuttujan Mahalanobiksen etäisyys, lokaatio ja hajonta määrittävät sen tasa-arvokäyrät, oletus elliptisyydestä mahdollistaa moniulotteisen ongelman ratkaisemisen yksiulotteisen ääriarvoetorian menetelmillä. Esittämämme menetelmän toteutus on kaksivaiheinen: ensimmäisenä, estimoimme aineiston lokaation ja hajonnan, joiden avulla voimme vuorostaan estimoida joukon Mahalanobiksen etäisyyksiä. Tämän jälkeen hyödynnämme tuloksia yksiulotteisesta ääriarvoteoriasta ja estimoimme momenttipohjaisella menetelmällä näistä etäisyyksistä äärikvantiiliin, joka vastaa haluttua todennäköisyystasa-arvokäyrää. Tämä äärikvantiili ja estimoidut lokaatio ja hajonta määrittelevät jakauman tasa-arvokäyrän.Description
Supervisor
Ilmonen, PauliinaThesis advisor
Ilmonen, PauliinaKeywords
extreme value theory, quantile estimation, probability contour estimation, tail probability