On Multivariate Extremes

Thumbnail Image
Files
isbn9789526084664.pdf (352.39 KB)
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2019-04-29
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Author
Date
2019
Department
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Department of Mathematics and Systems Analysis
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
36 + app. 81
Series
Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 49/2019
Abstract
Multivariate extreme value theory has traditionally been developed by studying the componentwise maxima of the observations. Recently, alternative approaches based on measuring the outlyingness of observations, using for example the Mahalanobis distance from the center of the distribution, have been proposed. This thesis features efforts to advance this point of view by, both, developing new results for the previously published methods and proposing new methods. The existing methods, the separating multivariate Hill estimator in particular, are developed further by settling important open questions concerning their asymptotic properties. As a salient example: We show that, under natural conditions, the separating Hill estimator is both consistent and asymptotically normal not only when the parameters of the underlying distribution are known, but in the practical case when the observations follow an unknown elliptical distribution. As a somewhat tangential aspect, we study a new way, the Delaunay outlyingness, to measure the outlyingness of multivariate observations that is based on the geometry of the sample. We study Delaunay outlyingness in the case of a compact convex region and a finite number of outliers and show, that at least in this situation, it has favorable asymptotic properties. Delaunay outlyingness is also studied through simulations which suggest that it's applicable beyond compact convex regions.

Perinteisesti moniulotteinen ääriarvoteoria on perustunut komponenteittain otettujen maksimien tarkasteluun. Hiljattain ilmestyneissä artikkelieissa on tarkasteltu vaihtoehtoista tapaa lähestyä ongelmaa mittaamalla havaintojen äärimmäisyyttä datassa perustuen esimerkiksi havainnon Mahalanobis-etäisyyteen jakauman keskipisteestä. Väitöskirjassa esitellään tätä näkökulmaa edistäviä artikkeleja, joissa sekä edistetään olemassa olevien menetelmien teoriaa, että ehdotetaan uusia tapoja lähestyä moniulotteisia ääriarvoja. Olemassa olevia menetelmiä, erityisesti erottavaa moniulotteista Hill-estimaattoria, edistetään ratkaisemalla niiden asymptotiikkaan liittyviä merkittäviä avoimia ongelmia. Huomattavana esimerkkinä mainittakoon, että, luonnollisten oletusten vallitessa, erottava Hill-estimaattori on konsistentti ja asymptoottisesti normaali sekä silloin, kun taustalla olevan jakauman parametrit tunnetaan, että käytännön kannalta keskeisessä tilanteessa, kun havainnot syntyvät tuntemattomasta elliptisestä jakaumasta. Jokseenkin rinnakkaisena aiheena tarkastelemme uutta tapaa, Delaunay-ulkoisuutta, mitata moniulotteisten havaintojen äärimmäisyttä perustuen havaintojen joukon geometriseen rakenteeseen. Tarkastelemme Delaunay-ulkoisuutta kompaktin konveksin joukon tapauksessa, kun joukon ympärille asetetaan äärellinen määrä ääripisteitä ja näytämme, että vähintään tässä tilanteessa suureella on hyvät asymptoottiset ominaisuudet. Delaunay ulkoisuutta tarkastellaan myös simulaatioiden avulla, jotka antavat näyttöä sen puolesta, että suure soveltuu myös tilanteisiin jossa havainnot eivät ole jakautuneet kompaktin konveksin joukon yli.
Description
Supervising professor
Ilmonen, Pauliina, Asst. Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Keywords
extreme value theory, multivariate extremes, moniulotteinen ääriarvoteoria, ääriarvoteoria
Other note
Parts
  • [Publication 1]: M. Heikkilä, Y. Dominicy, P. Ilmonen. Multivariate moment based extreme value index estimators. Computational Statistics, 2017, Volume 32, Issue 4, pp. 1481–1513,
    DOI: 10.1007/s00180-016-0706-y View at publisher
  • [Publication 2]: M. Heikkilä, Y. Dominicy, P. Ilmonen. On multivariate separating Hill estimator under estimated location and scatter. Accepted for publication in Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics, 2018, 18, pp. 301-320,
    DOI: 10.1080/02331888.2018.1548016 View at publisher
  • [Publication 3]: M. Heikkilä. Nonparametric Geometric Outlier Detection. Submitted for publication, 2017.
Citation
Permanent link to this item
https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-8466-4
Collections
[diss] Perustieteiden korkeakoulu / SCI