Real Linear Operators on Complex Hilbert Spaces with Applications

Thumbnail Image

Files

isbn9789526051345.pdf (326.57 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2013-05-10
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2013

Department

Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Department of Mathematics and Systems Analysis

Major/Subject

Mcode

Degree programme

Language

en

Pages

34 + app. 69

Series

Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 69/2013

Abstract

This dissertation studies real linear operators on complex Hilbert spaces. The focus is particularly on questions concerning spectral properties. Real linear operators arise naturally in applications such as the mathematical description of planar elasticity or the inverse conductivity problem utilized in electrical impedance tomography. Challenges in real linear operator theory stem from the observation that some foundational properties for complex linear operators may not hold for real linear operators in general. The findings in this dissertation include basic spectral properties of real linear operators. An analogue of the Weyl-von Neumann theorem is proved concerning the diagonalizability of self-adjoint antilinear operators. Properties of the characteristic polynomial of a finite rank real linear operator are studied. Addressing invariant subspaces, an analogue of Lomonosov's theorem is proved for compact antilinear operators. With respect to the Beltrami equation, real linear multiplication operators are discussed. A factorization of symplectic and metaplectic operators is presented in connection to optics.

Tässä väitöskirjassa tutkitaan reaalilineaarisia operaattoreita kompleksisilla Hilbertin avaruuksilla. Kohteena on erityisesti spektrin ominaisuuksia koskevat kysymykset. Reaalilineaarisia operaattoreita ilmenee luonnollisesti sovelluksissa kuten tasoelastisuuden matemaattisessa kuvauksessa tai sähköisessä impedanssitomografiassa käytetyssä johtuvuuden käänteisongelmassa. Haasteet reaalilineaarisessa operaattoriteoriassa kumpuavat huomiosta, että jotkin kompleksilineaaristen operaattoreiden perusominaisuudet eivät välttämättä päde reaalilineaarisille operaattoreille yleisesti. Väitöskirjan tulokset sisältävät reaalilineaaristen operaattoreiden spektrien perusominaisuuksia. Weylin-von Neumannin lauseen vastine todistetaan koskien itse-adjungoitujen antilineaaristen operaattoreiden diagonalisoituvuutta. Tutkitaan äärellistä rangia olevien reaalilineaaristen operaattoreiden karakterististen polynomien ominaisuuksia. Lomonosovin lauseen vastine koskien invariantteja aliavaruuksia todistetaan kompakteille antilineaarisille operattoreille. Beltramin yhtälöön liittyen käsitellään reaalilineaarisia kerroinoperaattoreita. Symplektisten ja metaplektisten operaattoreiden tekijöihinjako esitellään niiden yhteydensä optiikkaan puolesta.

Description

Supervising professor

Nevanlinna, Olavi, Prof., Aalto University, Finland

Thesis advisor

Huhtanen, Marko, Prof., Aalto University, Finland

Keywords

real linear operator, spectrum, antilinear operator, compact operator, invariant subspace, Weyl-von Neumann theorem, conjugation, factorization, symplectic matrix, reaalilineaarinen operaattori, spektri, antilineaarinen operaattori, kompakti operaattori, invariantti aliavaruus, Weyl-von Neumannin lause, konjugaatio, faktorointi, symplektinen matriisi

Other note

Parts

  • [Publication 1]: Huhtanen, Marko and Ruotsalainen, Santtu. Real linear operator theory and its applications. Integral Equations and Operator Theory, Volume 69, Number 1, pages 113–132, doi:10.1007/s00020-010-1825-4, January 2011.
  • [Publication 2]: Ruotsalainen, Santtu. On a Weyl–von Neumann type theorem for antilinear self-adjoint operators. Studia Mathematica, Volume 213, Number 3, pages 191–205, doi:10.4064/sm213-3-1, December 2012.
  • [Publication 3]: Ruotsalainen, Santtu. Compact real linear operators. arXiv:1212.3292v2, 15 pages, March 2013.
  • [Publication 4]: Huhtanen, Marko and Ruotsalainen, Santtu. Factoring in the metaplectic group and optics. Operators and Matrices, Volume 5, Number 1, pages 173–181, doi:10.7153/oam-05-12, March 2011.

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-5134-5

Collections

[diss] Perustieteiden korkeakoulu / SCI