Higher integrability of the parabolic p-Laplace equation

Abstract

We prove that the gradient of a weak solution to the parabolic p-Laplace equationis locally integrable to a higher exponent than assumed a priori. This result is based on reverse Hölder inequality which is shown using an energy estimate and a general Sobolev inequality. Higher integrability follows from a general self improvement property of reverse Hölder inequalities.

Because of the inhomogeneity of the parabolic p-Laplacian, we have to prove the reverse Hölder inequality in cylinders whose time scaling depends on the solution itself. This makes the arguments more delicate than in the linear case. The methods presented here continue to have relevance as they are robust, and can be applied for other types of parabolic PDEs.

Työssä todistetaan, että parabolisen p-Laplacen yhtälön heikko ratkaisu on lokaalisti integroituva korkeampaan eksponenttiin kuin alunperin oletettu. Tuloksen todistus pohjautuu käänteiseen Hölderin epäyhtälöön, joka osoitetaan energiaestimaatin ja yleisen Sobolevin epäyhtälön avulla. Korkeampi integroituvuus seuraa käänteisen Hölderin epäyhtälön ominaisuudesta parantaa itseään.

Parabolisen p-Laplacen yhtälön epähomogeenisuuden vuoksi käänteinen Hölderin epäyhtälö on todistettava sylintereissä, joiden aikaskaalaus riippuu ratkaisusta itsestään. Tämä tekee argumenteista mutkikkaampia kuin lineaarisessa tapauksessa. Työssä esitellyillä menetelmillä on edelleen merkitystä, sillä ne ovat robusteja ja sovellettavissa myös yleisemmille osittaisdifferentiaaliyhtälöille.