Proving the Riemann Mapping Theorem Using Potential Theory
No Thumbnail Available
Files
Hytönen_Veli_2024.pdf (834.2 KB) (opens in new window)
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
2024-08-23
Department
Major/Subject
Matematiikka ja systeemitieteet
Mcode
SCI3029
Degree programme
Teknistieteellinen kandidaattiohjelma
Language
en
Pages
51
Series
Abstract
The Riemann mapping theorem is one of the most notable results in the field of complex analysis. It states that every simply connected proper subdomain of the complex plane can be mapped conformally onto the open unit disc. First formulated by Bernhard Riemann in 1851, the theorem was arguably ahead of its time and had a significant impact on mathematics. Because of its generality, the Riemann mapping theorem is an extremely powerful result. It can be used to generalize results from the unit disc to general domains. It also brings forth the Uniformization theorem, which states that every simply connected Riemann surface is conformally equivalent to the unit disc, the complex plane, or the Riemann sphere. In this thesis, we will prove the Riemann mapping theorem using an approach that mainly employs potential theory. While the current standard is to prove the result using normal families, we choose the more concrete approach via potential theory. A goal of the thesis is also to investigate potential theory itself. Along the way, we will see how complex analysis and potential theory are closely connected in the familiar setting of the complex plane. We will many times use results from one to show results in the other.Riemannin kuvauslause on yksi kompleksianalyysin merkittävimmistä tuloksista. Sen mukaan jokainen kompleksitason yhdesti yhtenäinen alue, koko tasoa lukuunottamatta, voidaan kuvata konformisesti avoimelle yksikkökiekolle. Bernhard Riemann muotoili lauseen ensimmäistä kertaa vuonna 1851. Lause oli kiistatta aikaansa edellä ja vaikutti matematiikan kehittymiseen huomattavasti. Riemannin kuvauslause takaa konformisen kuvauksen olemassaolon, mutta kuvauksen löytäminen on kuitenkin suurimmassa osassa tapauksista erittäin hankalaa. Esimerkiksi konformikuvaus suorakulmion sisukselta yksikkökiekolle on jo todella monimutkainen. Lauseen hyödyllisyys perustuukin juuri sen yleisyyteen. Lauseen avulla voidaan yleistää väitteitä yksikkökiekolta yleisille alueille kompleksitasossa. Kuvauslauseen seurauksena saadaan myös niin kutsuttu uniformisaatiolause. Sen mukaan jokainen yhdesti yhtenäinen Riemannin pinta on konformisti ekvivalentti avoimen yksikkökiekon, kompleksitason tai Riemannin pallon kanssa. Tämän työn päätarkoituksena on todistaa Riemannin kuvauslause käyttäen hyväksi potentiaaliteoriaa. Potentiaaliteoria on matematiikan osa-alue, joka käsittelee muun muassa harmonisia ja aliharmonisia funktioita sekä potentiaaleja, energioita, Dirichlet'n ongelmaa ja Greenin funktioita. Vaikka vakiintunut tapa todistaa lause on käyttää normaaleja funktioperheitä (engl. normal family), käytetään tässä työssä konkreettisempaa lähestymistapaa potentiaaliteorian kautta. Työ rakentuu erilaisista välituloksista siten, että Riemannin kuvauslause saadaan todistettua ytimekkäästi. Monet välituloksista ovat itsessään hyödyllisiä potentiaaliteorian tuloksia. Useiden välitulosten todistuksissa käytetään hyväksi potentiaaliteorian ja kompleksianalyysin läheistä kytköstä kompleksitasossa. Esimerkiksi harmonisten ja analyyttisten funktioiden yhteyttä sekä konformikuvauksia käytetään usein. Lisäksi itse päätulos, potentiaaliteorian avulla todistettu Riemannin kuvauslause, on esimerkki näiden matematiikan osa-alueiden yhteydestä. Kuvauslauseen todistuksessa konforminen kuvaus muodostetaan tutkittavan alueen Greenin funktion avulla. Täten kuvauksen olemassaolo perustuu Greenin funktion olemassaoloon. Greenin funktion ominaisuudet taas takaavat, että kuvauksen arvojoukko on yksikkökiekko ja että kuvaus on konforminen.Description
Supervisor
Ivarsson, BjörnThesis advisor
Ivarsson, BjörnKeywords
Riemann mapping theorem, potential theory, complex analysis