Approximate solution of a parametric diffusion equation for electrical impedance tomography

Thumbnail Image

Files

isbn9789526425153.pdf (1.93 MB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2025-05-09
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025

Department

Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Department of Mathematics and Systems Analysis

Major/Subject

Mcode

Degree programme

Language

en

Pages

52 + app. 104

Series

Aalto University publication series Doctoral Theses, 78/2025

Abstract

This dissertation considers numerical solution of a parametric steady-state diffusion equation. The equation is interpreted to describe the electric potential in some domain and the parameter in the equation describes the varying conductivity distribution inside this domain. Even with modern computing power, solving this equation in a complicated geometry may take a lot of computational resources. Therefore approximations to the solution process may be useful. The main focus in the thesis is on approximating the parameter-to-solution map of this partial differential equation. The parameter-to-solution map describes how the solution to the equation depends on the different parameters one can input. Approximating this map provides fast ways to solve the equation in cases where one wishes to solve the potential many times with different conductivity distributions. The differential equation is solved using the finite element method which is a well-established method for solving these equations numerically. This thesis studies reduced basis methods, where the finite element problem is projected onto a small subspace and the solution is sought from this subspace. This method naturally requires that there indeed exists an accurate enough approximate solution for all considered parameter values in some small subspace. In this thesis, a new method for constructing this subspace is developed. Also, reduced basis methods are studied theoretically in the case of a simple geometry. The goal is to understand the reasons which explain why these methods are so effective for the diffusion equation. Reduced basis methods are applied to the problem of electrical impedance tomography in this thesis. Electrical impedance tomography is an imaging method where one tries to reconstruct the conductivity distribution inside the object from electrical measurements conducted on the surface. This requires modeling the electric potential using the diffusion equation. Numerical tests conducted with simulated data demonstrate that reduced basis methods indeed make the reconstruction less computationally intensive while not sacrificing the quality significantly. Additionally, this thesis studies the so-called linearized model of electrical impedance tomography. For this, a new direct reconstruction method was recently proposed. This method is tested in this thesis for a difference measurement in electrical impedance tomography. The difference measurement consists of two measurements at different times and the goal is to measure the conductivity change that happened between the measurements. It turns out that one can get rather good results with the linearized model as well.

Tämä väitöskirja käsittelee parametrisen aikariippumattoman diffuusioyhtälön numeerista ratkaisemista. Yhtälön tulkitaan kuvaavan sähköistä potentiaalia jossakin alueessa ja sen parametri kuvaa alueen sisällä olevaa epätasaista johtavuusjakaumaa. Tämän yhtälön ratkaiseminen monimutkaisessa geometriassa voi olla laskennallisesti raskasta jopa nykyaikaisella laskentateholla. Siksi voi olla hyödyllistä lisätä likimääräisiä vaiheita ratkaisuprosessiin. Keskeisenä aiheena väitöskirjassa on tämän osittaisdifferentiaaliyhtälön parametriratkaisukuvauksen arvioiminen. Parametri-ratkaisukuvaus kertoo, kuinka yhtälön ratkaisu riippuu eri parametreista, joita siihen voi syöttää. Tämän kuvauksen arvioiminen likimääräisesti antaa nopeita tapoja yhtälön ratkaisemiseen tapauksissa, joissa potentiaali halutaan ratkaista useita kertoja eri johtavuusjakaumilla. Differentiaaliyhtälö ratkaistaan elementtimenetelmällä, joka on vakiintunut menetelmä näiden yhtälöiden numeeriseen ratkaisemiseen. Tässä väitöskirjassa tutkitaan redusoidun kannan menetelmiä, joissa elementtimenetelmän antama ongelma projisoidaan pieneen aliavaruuteen, josta ratkaisua etsitään. Tämä menetelmä luonnollisesti vaatii, että ongelmalle tosiaan löytyy tarpeeksi hyvä likimääräinen ratkaisu kaikille tutkituille parametrin arvoille jostakin pienestä aliavaruudesta. Tässä työssä kehitetään uusi tapa tämän aliavaruuden luomiseen. Lisäksi tutkitaan teoreettisesti redusoidun kannan menetelmiä yksinkertaisessa geometriassa. Tavoitteena on ymmärtää syitä, jotka selittävät näiden menetelmien tehokkuutta diffuusioyhtälölle. Tässä väitöskirjassa redusoidun kannan menetelmiä sovelletaan impedanssitomografiaan. Impedanssitomografia on kuvantamismenetelmä, jossa yritetään rekonstruoida kappaleen sisäinen johtavuusjakauma pinnalta tehtyjen sähköisten mittausten perusteella. Tämä vaatii sähköisen potentiaalin mallintamista diffuusioyhtälön avulla. Simuloidulla datalla tehdyt numeeriset kokeet osoittavat, että redusoidun kannan menetelmät tosiaan tekevät rekonstruktiosta laskennallisesti kevyemmän vaikuttamatta sen laatuun kovin paljon. Lisäksi tässä työssä tutkitaan impedanssitomografian niin sanottua linearisoitua mallia, jolle hiljattain kehitettiin uusi suora rekonstruktiomenetelmä. Tätä menetelmää kokeillaan tässä työssä impedanssitomografiseen muutoksen mittaukseen. Tässä tapauksessa suoritetaan kaksi mittausta eri aikoina, ja tavoitteena on mitata mittausten välissä tapahtunutta johtavuuden muutosta. Käy ilmi, että myös linearisoitua mallia käyttämällä voi saada varsin hyviä tuloksia.

Description

Supervising professor

Hannukainen, Antti, Assoc. Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland

Thesis advisor

Hannukainen, Antti, Assoc. Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland

Keywords

finite element method, elliptic partial differential equation, reduced basis method, inverse problem, electrical impedance tomography, elementtimenetelmä, elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, redusoidun kannan menetelmä, inversio-ongelma, impedanssitomografia

Other note

Parts

  • [Publication 1]: A. Autio and A. Hannukainen. Solution of parameter-dependent diffusion equation in layered media. Submitted to Electronic Transactions on Numerical Analysis, 2024.
  • [Publication 2]: A. Autio and A. Hannukainen. A subspace method based on the Neumann series for the solution of parametric linear systems. Computers & Mathematics with Applications, January 2025.
    Full text in Acris/Aaltodoc: https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202412117717
    DOI: 10.1016/j.camwa.2024.11.019 View at publisher
  • [Publication 3]: A. Autio and A. Hannukainen. Comparing reduced order surrogate models for electrical impedance tomography. Submitted to Inverse Problems and Imaging, 2024.
  • [Publication 4]: A. Autio, H. Garde, M. Hirvensalo and N. Hyvönen. Linearization-based direct reconstruction for EIT using triangular Zernike decompositions. Accepted for publication in Inverse Problems and Imaging, September 2024.

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-64-2515-3

Collections

[diss] Perustieteiden korkeakoulu / SCI