Pienen puolipallon sähköinen vaste

Abstract

Työn tarkoituksena on selvittää homogeenisen, puolipallon muotoisen kappaleen sähköstaattinen vaste. Vasteen voimakkuutta voidaan kuvata laskemalla puolipallon polarisoituvuus. Polarisoituvuuden laskenta jaetaan kahteen erikoistapaukseen: aksiaaliseen ja transversaaliseen. Polarisoituvuutta ei pystytä selvittämään täysin analyyttisesti, vaan joudutaan muodostamaan ja ratkaisemaan suuri matriisiyhtälö. Polarisoituvuudet esitetään puolipallon suhteellisen permittiivisyyden funktiona. Positiivisilla permittiivisyyksillä saadaan tarkkoja tuloksia, jotka voidaan varmentaa laskemalla polarisoituvuus myös numeerisella valmisohjelmistolla.

Polarisoituvuus lasketaan myös negatiivisilla permittiivisyyksillä, jolloin täytyy oletaan taajuus korkeaksi ja puolipallon mitat aallonpituuteen nähden pieniksi, jotta sähköstaattinen tarkastelu edelleen pätisi. Pienillä negatiivisilla permittiivisyyksillä puolipallon vaste on singulaarinen, eli havaitaan useita niin sanottuja staattisia resonansseja. Vastaavilla permittiivisyyden arvoilla tuloksia ei saada suppenemaan. Analyyttisesti voidaan osoittaa, että singulaarisuudet suhteellisen permitiivisyyden arvoilla −3 ≤ εr ≤ −1/3 aiheutuvat puolipallon terävistä nurkista.

Ottamalla huomioon materiaalin kausaalisuus ja häviöt, singulaarisuudet katoavat, ja ratkaisu saadaan suppenemaan.

Työ on luoteeltaan akateemista perustutkimusta, joka selvittää yhteyttä kappaleen geometrian, materiaalin ja sen sähköisten ominaisuuksien välillä.

This thesis examines the electrostatic response of a homogeneous hemispherical object by computing its polarizability. Two special cases are investigated: one axial, the other transversal. Polarizability cannot be calculated purely analytically; hence a large matrix equation must be constructed and solved. The polarizability of a hemisphere is presented as a function of relative permittivity. With positive values for permittivity, the results are quite accurate and they are verified by computing the polarizability numerically.

The thesis also considers negative values for permittivity. To obtain negative permittivities, the presumed frequency must be very high and the dimensions of the object very small in order for the static approach to be feasible. With small negative permittivities, the polarizability of the hemisphere is found to have several singularities, also known as static resonances, and the solution does not converge. It can be shown analytically that the resonances between relative permittivity values −3 ≤ εr ≤ −1/3 are due to the sharp corners of the hemisphere.

By taking the causality and the losses of the material into consideration, the singularities vanish and the solution converges.

This master's thesis is based on basic academic research observing the connection between the geometry, material and electrical characteristics of an object.