Isoperimetrinen epäyhtälö ja variaatiolaskenta

No Thumbnail Available

Files

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.

Date

2024-09-03

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

fi

Pages

32

Series

Abstract

Tasokuvio määritellään reunakäyränsä avulla. Parametrisoimalla reunakäyrä ja soveltamalla variaatiolaskentaa ratkaistaan isoperimetrinen ongelma eli löydetään samanpiirisien tasokuvioiden joukosta pinta-alaltaan suurin tasokuvio: ympyrä. Tulosta kuvaa isoperimetrinen epäyhtälö. Derivoituvuusvaatimuksista huolimatta variaatiolaskenta riittää kaikkien ratkaisujen löytämiseen; tasokuvioiden likiarvoinen käsittely monikulmioina tuottaa saman ratkaisun, kun maksimoidaan pinta-ala. Variaatiolaskennan avulla yritetään ratkaista myös avaruuskappaleiden pinta-alaa ja tilavuutta koskeva yleistetty isoperimetrinen ongelma, mutta kaikkia kriittisiä pintoja ei löydetä. Ei siis onnistuta johtamaan yleistettyä isoperimetristä epäyhtälöä kaikille avaruuskappaleille.

A plane figure is defined by its boundary, a plane curve. The isoperimetric problem is to find the figure with the largest area out of all figures with a given perimeter. The solution– a circle– is obtained by applying calculus of variations to parametric representations of curves. This result is described by the isoperimetric inequality. Differentiability criteria for applying calculus of variations do not cause any solutions to be missed. This is verified by using polygons as approximations and maximising their area to obtain the same solution. Calculus of variations is also applied to solid figures in order to derive a generalised isoperimetric inequality between surface area and volume. However, the derivation is incomplete, as not all critical surfaces are identified.

Description

Supervisor

Korte, Riikka

Thesis advisor

Alestalo, Pekka

Keywords

variaatiolaskenta, isoperimetrinen ongelma, isoperimetrinen epäyhtälö

Other note

Citation