aalto1 untyped-item.component.html
Isoperimetrinen epäyhtälö ja variaatiolaskenta
Loading...
Files
Aalto login required (access for Aalto Staff only).
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3029
Degree programme
Language
fi
Pages
32
Series
Abstract
Tasokuvio määritellään reunakäyränsä avulla. Parametrisoimalla reunakäyrä ja soveltamalla variaatiolaskentaa ratkaistaan isoperimetrinen ongelma eli löydetään samanpiirisien tasokuvioiden joukosta pinta-alaltaan suurin tasokuvio: ympyrä. Tulosta kuvaa isoperimetrinen epäyhtälö. Derivoituvuusvaatimuksista huolimatta variaatiolaskenta riittää kaikkien ratkaisujen löytämiseen; tasokuvioiden likiarvoinen käsittely monikulmioina tuottaa saman ratkaisun, kun maksimoidaan pinta-ala. Variaatiolaskennan avulla yritetään ratkaista myös avaruuskappaleiden pinta-alaa ja tilavuutta koskeva yleistetty isoperimetrinen ongelma, mutta kaikkia kriittisiä pintoja ei löydetä. Ei siis onnistuta johtamaan yleistettyä isoperimetristä epäyhtälöä kaikille avaruuskappaleille.
A plane figure is defined by its boundary, a plane curve. The isoperimetric problem is to find the figure with the largest area out of all figures with a given perimeter. The solution– a circle– is obtained by applying calculus of variations to parametric representations of curves. This result is described by the isoperimetric inequality. Differentiability criteria for applying calculus of variations do not cause any solutions to be missed. This is verified by using polygons as approximations and maximising their area to obtain the same solution. Calculus of variations is also applied to solid figures in order to derive a generalised isoperimetric inequality between surface area and volume. However, the derivation is incomplete, as not all critical surfaces are identified.