Hypergraph Containers Applied to Algebraic Geometry

No Thumbnail Available
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Ask about the availability of the thesis by sending email to the Aalto University Learning Centre oppimiskeskus@aalto.fi
Date
2015-11-03
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
F3006
Degree programme
Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma
Language
en
Pages
35 + 5
Series
Abstract
The maximum number of edges in an H-free hypergraph provides a trivial lower bound for the number of such graphs. In 2006, Nagle, Rödl and Schacht proved that the bound is in some sense tight. Recently, Saxton and Thomason, and Balogh, Morris and Samotij independently recovered the result using their new container method. In this thesis, we will use it in combination with tools from discrete Morse theory and algebraic topology to obtain new enumerative results on l-uniform hypergraphs related to vanishing graded Betti numbers of squarefree monomial ideals of a polynomial ring. Graded Betti numbers are important invariants with far-reaching applications in algebra and geometry.

Kaarien lukumäärä H-aliverkottomissa hyperverkoissa antaa triviaalin alarajan kyseisten verkkojen lukumäärälle. Vuonna 2006 Nagle, Rödl ja Schacht todistivat, että raja on eräässä mielessä paras mahdollinen. Äskettäin Saxton ja Thomason sekä Balogh, Morris ja Samotij todistivat tuloksen itsenäisesti uudelleen käyttäen uutta hyperverkkosäilömenetelmäänsä. Tässä työssä käytämme sitä sekä työkaluja diskreetistä Morse-teoriasta ja algebrallisesta topologiasta laskeaksemme polynomirenkaan neliöttömien monomi-ideaalien häviäviin Betti-lukuihin liittyviä l-yhtenäisiä hyperverkkoja. Betti-luvut ovat tärkeitä invariantteja, joilla on kauaskantoisia sovelluksia algebrassa ja geometriassa.
Description
Supervisor
Engström, Alexander
Thesis advisor
Engström, Alexander
Keywords
H-free hypergraphs, hypergraph containers, enumeration, algebraic geometry, monomial ideals, graded Betti numbers
Citation