aalto1 untyped-item.component.html
Time mollifications in a space-time cylinder
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu |
Master's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
SCI3054
Degree programme
Language
en
Pages
56 + 3
Series
Abstract
In mathematics and particularly in analysis it is beneficial to mollify functions. Mollifying makes an arbitrary function continuous or differentiable - depending on the type of mollification. Mollified approximations converge to the original function. This is why it is beneficial to study different mollification methods and their properties. This is done in this thesis.
Specifically we studied functions in the space-time cylinder of a Euclidian space and took mollifications of these functions with respect to time. We focused on the Steklov mean value and the exponential mollification. It turned out that there were lots of interesting consequences of these mollifications. The Steklov mean value functions are continuous and the exponential mollification provides a differentiable function. At the end we also wrote about the standard mollification which makes a function smooth. This wasn't the main focus of the thesis so the proofs for the properties of the standard mollification were not included.
In addition at the beginning we studied the general definition of integral for vector-valued functions. This is called the Bochner integral. We also studied the Lp-spaces of vector-valued functions and proved that these are Banach spaces. In addition we also studied the measurable representatives of Lp-functions that get their values in an Lp-space.
Matematiikassa ja erityisesti analyysissä on hyödyllistä silottaa funktioita. Silotus tekee mielivaltaisesta funktiosta jatkuvan tai derivoituvan - riippuen silotustavasta. Silotetut funktiot vieläpä suppenevat alkuperäiseen funktioon, jos silotustapa on valittu hyvin. Tästä syystä on hyödyllistä tutkia erilaisia silotustapoja sekä niiden ominaisuuksia. Niitä tutkittiin tässä diplomityössä.
Työssä tutkittiin erityisesti funktioita euklidisen avaruuden aika-avaruussylinterissä ja otettiin näille silotuksia ajan suhteen. Työssä keskityttiin Steklovin keskiarvoon sekä silotukseen, joka saadaan ottamalla konvoluutio eksponentiaalifunktion kanssa. Selvisi, että näillä silotustavoilla on paljon kiinnostavia ominaisuuksia. Steklovin keskiarvofunktiot ovat jatkuvia ja eksponenttifunktiolla silotus on derivoituva. Aivan lopussa selvitettiin myös standardisilotus, joka tekee funktiosta sileän. Tämän tutkimiseen ei keskitytty ja sen takia standardisilotuksen ominaisuuksien todistuksia ei sisällytetty tähän diplomityöhön.
Tämän lisäksi työn alussa tutkittiin yleisemmin integraalin määritelmää vektoriarvoisille funktioille. Tätä määritelmää kutsutaan Bochner-integraaliksi. Työssä myös tutkittiin vektoriarvoisten funktioiden Lp-avaruuksia ja todistettiin, että ne ovat Banachin avaruuksia. Tämän lisäksi työssä vielä tutkittiin tulomitallisia edustajia Lp-funktioille, jotka saavat arvonsa Lp-avaruudessa.