Regularity of minimizers

Abstract

In this thesis we study the variational problem min u∈A ∫Ω F(Du)dx, where Ω ⊂ Rn is a bounded domain, A the set of functions in W1,2(Ω) with given boundary values, and F a smooth and strongly convex function. The aim is to show rigorously and in great detail that if we have a Lipschitz continuous minimizer, then it is, in fact, smooth. In order to prove the continuity of the first derivatives we use De Giorgi’s method, and for the higher derivatives the classical Schauder theory is applied. The question whether variational minimizers are smooth is a slightly weaker version of Hilbert’s 19th problem.

Tässä työssä tutkitaan variaatio-ongelmaa min u∈A ∫Ω F(Du)dx, missä Ω ⊂ Rn on rajoitettu alue, A joukko W1,2(Ω)-funktioita annetuilla reuna-arvoilla ja F sileä ja vahvasti konveksi funktio. Tarkoituksena on näyttää täsmällisesti ja yksityiskohtaisesti, että jos meillä on Lipschitz-jatkuva minimoija, niin itse asiassa se on sileä. Ensimmäisten derivaattojen jatkuvuuden todistuksessa käytämme De Giorgin menetelmää, ja korkeampiin derivaattoihin sovellamme klassista Schauder-teoriaa. Kysymys variaatiominimoijien sileydestä on hieman heikompi versio Hilbertin 19:nnestä ongelmasta.