Heikko Harnackin epäyhtälö

Thumbnail Image

Files

Rouvinen_Ella_2025.pdf (235.79 KB)

URL

Journal Title

Journal ISSN

Volume Title

Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Authors

Date

2025-11-23

Department

Major/Subject

Matematiikka ja systeemitieteet

Mcode

SCI3029

Degree programme

Teknistieteellinen kandidaattiohjelma

Language

fi

Pages

22

Series

Abstract

Tämän kandidaatintyön tavoitteena on perehtyä useisiin harmonisille funktioille johdettuihin tuloksiin, jotka tunnetaan kirjallisuudessa yleisesti heikkoina Harnackin epäyhtälöinä, sekä tarkastella niiden matemaattista sisältöä ja tulkintoja. Työssä tarkastellaan kolmea harmonisille funktioille johdettua tulosta, jotka antavat kvantitatiivisia arvioita funktion paikallisesta käyttäytymisestä pienessä pallossa perustuen sen arvoihin suuremmassa pallossa. Heikko Harnackin epäyhtälö ei viittaa nimellään tuloksen puutteellisuuteen tai soveltuvuuden rajoitteisiin - päinvastoin nimitys perustuu siihen, että lauseilla saadut estimaatit nojaavat heikompiin oletuksiin. Esimerkiksi ratkaisun pistettäisten arvojen sijaan lauseet voivat perustua oletuksiin ratkaisun integraaleista tai tasojoukkojen mitoista. Työssä tarkasteltiin tuloksia erityisesti Laplacen yhtälön ratkaisuille, mutta tulokset voidaan yleistää myös muille elliptisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille. Harmonisten funktioiden tapauksessa tulosten johtamisessa hyödynnettiin laajasti keskiarvoperiaatetta. Osa menetelmistä, kuten Hölderin epäyhtälö ja erilaisten estimaattien käyttö soveltuvat kuitenkin myös muiden elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tarkasteluun, kun keskiarvoperiaatetta ei voida käyttää.

The aim of this bachelor's thesis is to examine several results derived for harmonic functions, commonly referred to in the literature as the Weak Harnack Inequality, and to examine the mathematical content and interpretations of these results. The thesis focuses on three specific theorems related to harmonic functions, which provide quantitative estimates for the local behavior of the function within a smaller ball, based on its values in a larger ball. The term Weak Harnack Inequality does not refer to any deficiency or limitation in the result itself - on the contrary, the name reflects the fact that the estimates rely on weaker assumptions. For instance, instead of pointwise values of the function, the theorems may be based on assumptions involving integrals of the solution or the measure of its level sets. In this thesis, the results were considered primarily for solutions of Laplace's equation, although they can be generalised to other elliptic partial differential equations. In the case of harmonic functions, the Mean Value Principle was extensively utilized in deriving the results. Some methods - such as Hölder’s inequality and the use of various estimates - are, however, more general and can also be applied to other elliptic partial differential equations in situations where the mean value principle cannot be employed.

Description

Supervisor

Kinnunen, Juha

Thesis advisor

Kinnunen, Juha

Keywords

Heikko Harnackin epäyhtälö, Laplacen yhtälö, keskiarvoperiaate

Other note

Citation

Permanent link to this item

https://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-202512028969

Collections

[kand] Perustieteiden korkeakoulu / SCI