Nonlocal function spaces and conformal deformations of metric measure spaces
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Doctoral thesis (article-based)
| Defence date: 2025-05-23
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Authors
Takala, Timo
Date
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
47 + app. 126
Series
Aalto University publication series Doctoral Theses, 61/2025
Abstract
This thesis consists of four articles that study nonlocal function properties, especially John-Nirenberg spaces and Besov spaces. John-Nirenberg spaces, which are a generalization of the space of functions of bounded mean oscillation (BMO), are studied in the Euclidean setting, whereas Besov spaces are studied in the metric measure space setting. The space of functions of bounded mean oscillation is an important function space in harmonic analysis and in the regularity theory for nonlinear partial differential equations. It contains the L∞ space whereas the John-Nirenberg space contains the Lp space, and the John-Nirenberg space can be considered as an Lp-type space for oscillation. Besov spaces are important, because they are the trace spaces of Sobolev spaces. They also arise in the study of nonlocal fractional partial differential equations. With certain parameters, the Besov energy is the same as the fractional Sobolev energy in the Euclidean setting. In this thesis new examples of functions are constructed to increase the understanding of the John-Nirenberg space. The examples highlight the behaviour of the John-Nirenberg space compared to Lp and weak Lp spaces, and they prove the nontriviality of the vanishing subspace VJNp. The equality of the vanishing subspaces CJNp and VJNp is also proved. In the second half of this thesis, essential objects of study are the conformal deformations sphericalization and flattening. These processes deform the metric and the measure of a metric measure space so that the space is transformed from unbounded to bounded (sphericalization) or from bounded to unbounded (flattening). The transformations are inspired by the stereographic projection and its inverse. Sphericalization is a useful tool for example in studying boundary value problems in unbounded domains, because, after sphericalizing the space, one can apply direct methods of the calculus of variations on the bounded domain. In this thesis the behaviour of the Besov energy is studied in sphericalization and flattening. The metric density function, which appears in the definition of the transformations, is constructed so that the doubling property of the measure and the Besov energy are preserved in the transformations. General conditions for the metric density function are considered in the case of sphericalization: the thesis studies necessary and sufficient conditions so that the uniform domain property, the doubling property of the measure and the support of a p-Poincaré inequality are preserved.Väitöskirja koostuu neljästä artikkelista, joissa tutkitaan funktioiden epälokaaleja ominaisuuksia, erityisesti John-Nirenberg-avaruutta ja Besov-avaruutta. John-Nirenberg-avaruutta, joka on rajoitetun keskiheilunnan funktioiden avaruuden (BMO) yleistys, tutkitaan euklidisessa avaruudessa, kun taas Besov-avaruutta tutkitaan metrisessä mitta-avaruudessa. Rajoitetun keskiheilunnan funktioiden avaruus on tärkeä funktioavaruus harmonisessa analyysissa ja epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden säännöllisyysteoriassa. Se sisältää L∞-avaruuden, kun taas John-Nirenberg-avaruus sisältää Lp-avaruuden, ja John-Nirenbergavaruutta voidaan pitää Lp-tyyppisenä avaruutena heilunnalle. Besov-avaruus on tärkeä, koska se on Sobolev-avaruuden jälkiavaruus. Se esiintyy myös epälokaalien fraktionaalisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa. Tietyillä parametreillä Besov-energia on sama kuin fraktionaalinen Sobolev-energia euklidisen avaruuden tapauksessa. Työssä rakennetaan uusia esimerkkifunktioita, jotka lisäävät ymmärrystä John-Nirenbergavaruudesta. Esimerkkifunktiot korostavat John-Nirenberg-avaruuden käyttäytymistä verrattuna Lpavaruuteen ja heikkoon Lp-avaruuteen, ja ne todistavat, että häviävä aliavaruus VJNp ei ole triviaali. Työssä todistetaan myös, että häviävät aliavaruudet VJNp ja CJNp ovat sama avaruus. Työn jälkimmäisen puoliskon olennaisia tutkimuskohteita ovat avaruuden konformiset muunnokset pallotus ja litistys (engl. sphericalization ja flattening). Näissä prosesseissa metrisen mitta-avaruuden metriikkaa ja mittaa muutetaan siten, että rajoittamattomasta avaruudesta tulee rajoitettu (pallotus) tai rajoitetusta avaruudesta tulee rajoittamaton (litistys). Inspiraationa ovat toimineet stereografinen projektio ja sen käänteiskuvaus. Pallotus on kätevä työkalu muun muassa rajoittamattomien alueiden reuna-arvo-ongelmien tutkimuksessa, koska avaruuden pallotuksen jälkeen rajoitetussa alueessa voidaan soveltaa variaatiolaskennan suoria menetelmiä. Työssä tutkitaan Besov-energian käyttäytymistä pallotuksessa ja litistyksessä. Metrinen tiheysfunktio, joka esiintyy muunnosten määritelmässä, muotoillaan siten, että mitan tuplaavuus ja Besov-energia säilyvät muunnoksissa. Yleisiä ehtoja metriselle tiheysfunktiolle pohditaan pallotuksessa: työssä tutkitaan riittäviä ja välttämättömiä ehtoja sille, että sisätieyhtenäisyys, mitan tuplaavuus ja p-Poincarén epäyhtälön kantaminen säilyvät.Description
Supervising professor
Korte, Riikka, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandThesis advisor
Korte, Riikka, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, FinlandKeywords
John-Nirenberg space, John-Nirenberg inequality, BMO, vanishing subspace, Euclidean space, metric space, doubling measure, uniform space, Poincaré inequality, Besov energy, sphericalization, flattening, John-Nirenberg-avaruus, John-Nirenberg-epäyhtälö, BMO, häviävä aliavaruus, euklidinen avaruus, metrinen avaruus, tuplaava mitta, sisätieyhtenäinen avaruus, Poincarén epäyhtälö, Besov-energia, pallotus, litistys
Other note
Parts
-
[Publication 1]: Timo Takala. Nontrivial examples of JNp and V JNp functions. Mathematische Zeitschrift, Volume 302, pp. 1279-1305, August 2022.
DOI: 10.1007/s00209-022-03100-w View at publisher
-
[Publication 2]: Riikka Korte and Timo Takala. The John–Nirenberg Space: Equality of the Vanishing Subspaces V JNp and CJNp. Journal of Geometric Analysis, Volume 34, Article number 67, January 2024.
DOI: 10.1007/s12220-023-01512-6 View at publisher
-
[Publication 3]: Anders Björn, Jana Björn, Riikka Korte, Sari Rogovin and Timo Takala. Preserving Besov (fractional Sobolev) energies under sphericalization and flattening. Submitted to a journal, Available at arXiv: 2409.17809, October 2024.
DOI: 10.48550/arXiv.2409.17809 View at publisher
-
[Publication 4]: Riikka Korte, Sari Rogovin, Nageswari Shanmugalingam and Timo Takala. Sharp conditions for preserving uniformity, doubling measure and Poincaré inequality under sphericalization. Submitted to a journal, Available at arXiv: 2501.01348, January 2025.
DOI: 10.48550/arXiv.2501.01348 View at publisher