Generalized solutions to the porous medium equation

Thumbnail Image
Files
isbn9789526079783.pdf (391.89 KB)
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2018-05-18
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Author
Date
2018
Department
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Department of Mathematics and Systems Analysis
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
50 + app. 118
Series
Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 85/2018
Abstract
In this thesis we study various notions of generalized solutions to the porous medium equation. The central question throughout the work is finding classifications for the different notions of solutions and supersolutions, as well as clarifying the connections between these classes.  The solutions we are considering are defined by weak formulations of the equation. Our interest lies in the different regularity assumptions, and we prove that these notions are in fact equivalent. Furthermore, we study weak supersolutions defined in a similar manner via weak formulations, as well as supercaloric functions defined in terms of a parabolic comparison principle. First, we address the question on the equivalence of these classes of supersolutions by proving that in the locally bounded case the equivalence holds. Secondly, we show that unbounded supercaloric functions can be divided into two mutually exclusive classes with significantly different properties. We give several characterizations for these classes.  In order to treat the various notions of supersolutions, we develop several tools, which turn out to be interesting in their own right as well. As one of the main tools, we prove a weak Harnack type estimate for weak supersolutions. Finally, we consider the obstacle problem for the porous medium equation. In particular, we prove the existence of weak solutions satisfying useful regularity properties.

Väitöskirjassa tutkitaan huokoisen aineen yhtälön yleistettyjen ratkaisuiden käsitteitä. Keskeinen tutkimuskysymys on ratkaisuiden ja superratkaisuiden määritelmien luokittelu ja ratkaisuluokkien välisten yhteyksien määrittäminen.  Tutkittavat ratkaisut määritellään käyttäen yhtälön heikkoja muotoja. Tutkimuksen painopisteenä on eri ratkaisuiden määritelmiin liittyvät säännöllisyysoletukset ja työssä todistetaan määritelmien yhtäpitävyys. Lisäksi tutkitaan vastaavaan tapaan yhtälön heikon muodon avulla määriteltyjä heikkoja superratkaisuita, kuin myös parabolisen vertailuperiaatteen avulla määriteltyjä superkalorisia funktioita. Superratkaisuluokkien välistä yhteyttä tutkitaan todistaen määritelmien yhtäpitävyys lokaalisti rajoitetussa tapauksessa. Lisäksi osoitetaan, että rajoittamattomassa tapauksessa superkaloriset funktiot voidaan jakaa kahteen erilliseen luokkaan, joilla ilmenee hyvin erilaisia ominaisuuksia. Näille luokille esitetään useita karakterisointeja.  Eri superratkaisuluokkien tutkimiseksi kehitetään myös useita työkaluja, jotka osoittautuvat myös itsessään mielenkiintoisiksi. Eräänä keskeisenä työkaluna todistetaan heikko Harnack-tyyppinen estimaatti heikoille superratkaisuille. Lopuksi tutkitaan esteongelmaa huokoisen aineen yhtälölle. Erityisesti todistetaan olemassaolotulos esteongelman heikoille ratkaisuille, jotka toteuttavat käytännölliset säännöllisyysoletukset.
Description
Supervising professor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Thesis advisor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Keywords
porous medium equation, weak solution, weak supersolution, supercaloric function, comparison principle, weak Harnack estimate, obstacle problem, huokoisen aineen yhtälö, heikko ratkaisu, heikko superratkaisu, superkalorinen funktio, vertailuperiaate, heikko Harnack-estimaatti, esteongelma
Other note
Parts
  • [Publication 1]: Pekka Lehtelä, Teemu Lukkari. The equivalence of weak and very weak supersolutions to the porous medium equation. Accepted for publication in The Tohoku Mathematical Journal, 23 pages, May 2016.
  • [Publication 2]: Pekka Lehtelä. A weak Harnack estimate for supersolutions to the porous medium equation. Differential and Integral Equations, Volume 30, Number 11/12, pp 879–916, November/December 2017.
  • [Publication 3]: Juha Kinnunen, Pekka Lehtelä, Peter Lindqvist and Mikko Parviainen. Supercaloric functions for the porous medium equation. Submitted to a journal, 21 pages, Available at arXiv:1801.04121, December 2017.
  • [Publication 4]: Verena Bögelein, Pekka Lehtelä and Stefan Sturm. Regularity of weak solutions and supersolutions to the porous medium equation. Submitted to a journal, 23 pages, Available at arXiv:1801.05249, January 2018.
Citation
Permanent link to this item
https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-7978-3
Collections
[diss] Perustieteiden korkeakoulu / SCI