Diskreetin maksimaalifunktion perusominaisuudet
Loading...
URL
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science |
Master's thesis
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Authors
Date
Department
Major/Subject
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
fi
Pages
41
Series
Abstract
The Hardy-Littlewood maximal function is one of the most essential operators in real analysis and harmonic analysis but is not always sufficiently regular. The Hardy-Littlewood maximal function maps the functions of Lp-space into Lp-space but does not retain the continuity or Hölder continuity of functions, for instance. It would be beneficial to define a maximal function that is of the same magnitude as the Hardy-Littlewood maximal function and has the desired regularity properties. For this purpose, in this master's thesis we define the discrete maximal function, which also retains continuity and Hölder continuity. The discrete maximal function can be used in relatively general metric spaces. For the purposes of this work, the most important assumption of the examined metric space is that the used measure is doubling. Then the measures of spheres with the same center are proportional to each other. The measure being doubling enables the use of numerous tools for the analysis of metric spaces but is not too demanding as an assumption, since there are plenty of suitable spaces. The discrete convolution is used in defining the discrete maximal function. Similarly, the Hardy-Littlewood maximal function can be defined in real spaces with the ordinary convolution, but the ordinary convolution is not defined in general metric spaces. Of the properties of the discrete maximal function, we examine in particular Lp-properties and Hölder continuity. The determined properties are compared to the properties of the Hardy-Littlewood maximal function. We also show that the discrete maximal function is of the same magnitude as the Hardy- Littlewood maximal function. The methods used in the work include in particular results derived from the doubling measure and essential covering theorems, such as the Vitali and Whitney covering theorems. In this work, we examine the discrete maximal function in both the global and local case. We then notice that many of the properties are relatively similar in both cases. Therefore, the discrete maximal function can be limited to a subset of the examined space without losing important properties.Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio on yksi reaalianalyysin ja harmonisen analyysin kerkeimmistä operaattoreista mutta ei aina ole riittävän saannollinen. Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio kuvaa Lp-avaruuden funktiot Lp-avaruudelle mutta ei säilytä esimerkiksi funktion jatkuvuutta eikä Holder-jatkuvuutta. Olisi hyödyllistä määritellä maksimaalifunktio, joka on samaa suuruusluokkaa kuin Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio ja jolla on toivotut säännöllisyysominaisuudet. Kyseistä tarkoitusta varten tässä diplomityössä määritellään diskreetti maksimaalifunktio, joka säilyttää myös jatkuvuuden ja Holder-jatkuvuuden. Diskreettiä maksimaalifunktiota voidaan käyttää melko yleisissä metrisissä avaruuksissa. Työn kannalta keskeisin oletus tutkittavasta metrisestä avaruudesta on, että käytettävä mitta on tuplaava. Tällöin samankeskisten pallojen mitat ovat verrannollisia toisiinsa nähden. Mitan tuplaavuus mahdollistaa lukuisten työkalujen käytön metristen avaruuksien analyysissa mutta ei ole oletuksena liian vaativa, silla sopivia avaruuksia on runsaasti. Diskreetin maksimaalifunktion määrittelyssä käytetään diskreettiä konvoluutiota. Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio voidaan vastaavasti määritellä reaalisissa avaruuksissa tavallisen konvoluution avulla, mutta tavallista konvoluutiota ei ole määritelty yleisissä metrisissä avaruuksissa. Diskreetin maksimaalifunktion ominaisuuksista tutkitaan erityisesti Lp-ominaisuuksia sekä Holder-jatkuvuutta, ja määritettyjä ominaisuuksia verrataan Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktion ominaisuuksiin. Lisäksi näytetään, että diskreetti maksimaalifunktio on samaa suuruusluokkaa kuin Hardy- Littlewoodin maksimaalifunktio. Työn menetelminä käytetään erityisesti mitan tuplaavuuteen pohjautuvia tuloksia ja keskeisiä peitelauseita, kuten Vitalin ja Whitneyn peitelauseita. Työssä tarkastellaan diskreettiä maksimaalifunktiota sekä globaalissa että lokaalissa tapauksessa. Talloin havaitaan, että monet ominaisuuksista ovat melko samanlaisia kummassakin. Diskreetti maksimaalifunktio voidaan siis rajoittaa avaruuden osajoukkoon ilman, että keskeisiä ominaisuuksia menetetään.Description
Supervisor
Kinnunen, JuhaThesis advisor
Kinnunen, JuhaKeywords
Hardy-Littlewood maximal function, Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio, discrete maximal function, diskreetti maksimaalifunktio, discrete convolution, diskreetti konvoluutio, partition of unity, ykkösen ositus, metric space, metrinen avaruus, doubling measure, tuplaava mitta, Lp-space, Lp-avaruus, Hölder continuity, Hölder-jatkuvuus, Whitney covering theorem, Whitneyn peitelause