Regularity for nonlinear parabolic partial differential equations

Thumbnail Image
Files
isbn9789526079288.pdf (418 KB)
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2018-04-26
Unless otherwise stated, all rights belong to the author. You may download, display and print this publication for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Author
Date
2018
Department
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Department of Mathematics and Systems Analysis
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
55 + app. 119
Series
Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 62/2018
Abstract
In this thesis we study the regularity of solutions for generalizations of the parabolic p-Laplace equation. The main focus is on equations with Orlicz type growth conditions for which we prove various regularity results, such as local boundedness of both weak solutions and their gradients. Moreover, we show the existence of a continuous solution up to the boundary for the Cauchy-Dirichlet problem. As a by-product we develop new approaches and techniques to handle the difficult nature of the equation that can be both degenerate and singular simultaneously. We also apply the obtained results to prove the existence of a unique solution to the related obstacle problem, and moreover, we show that in case the obstacle is continuous, the solution is as well.  The thesis also contains a section on phase transition problems. More precisely, we study the degenerate two-phase Stefan problem and show that there exists a solution to the Cauchy-Dirichlet problem that is continuous up to the boundary. Moreover, we derive an explicit modulus of continuity at the boundary. The main difficulty stems from the additional degeneracy caused by the jump at the transition point. This is overcome by considering the equation in three different intrinsic geometries instead of the usual one for the p-Laplacian.  The employed methods are mostly based on similar ideas to the ones typically used for the p-Laplace equation, for example De Giorgi's method is applied in many of the proofs. However, due to the generality of the equations, it has been necessary to also find some new tools and ideas.

Tässä väitöskirjssa tutkitaan ratkaisujen säännöllisyyttä parabolisen p-Laplace-yhtälön yleistyksille. Keskeisessä osassa ovat yhtälöt, jotka toteuttavat Orlicz-tyyppiset kasvuehdot. Näille todistetaan useita säännöllisyystuloksia, kuten ratkaisujen sekä niiden gradienttien lokaali rajoittuneisuus. Lisäksi osoitetaan reunalle asti jatkuvan ratkaisun olemassaolo Cauchy-Dirichlet-ongelmalle. Sivutuotteena kehitetään uusia lähestymistapoja ja tekniikoita yhtälön, joka voi olla samanaikaisesti sekä degeneroitunut että singulaarinen, hankalan luonteen käsittelyyn. Saatuja tuloksia myös käytetään todistamaan yhtälöön liittyvälle esteongelmalle yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolo, ja lisäksi osoitetaan, että jos este on jatkuva, niin ratkaisukin on.  Väitöskirja sisältää myös osion, joka käsittelee faasitransitio-ongelmia. Täsmällisemmin sanottuna siinä tutkitaan degeneroitunutta kaksifaasista Stefan-ongelmaa ja näytetään, että on olemassa Cauchy-Dirichlet-ongelman ratkaisu, joka on jatkuva reunalle asti. Lisäksi johdetaan eksplisiittinen jatkuvuusmoduli reunalla. Todistuksen hankaluus johtuu pääosin transitiopisteessä olevan hypyn aiheuttamasta ylimääräisestä degeneroituneisuudesta. Tämä ratkaistaan tarkastelemalla yhtälöä kolmessa eri geometriassa tavanomaisen p-Laplace-yhtälöön liittyvän geometrian sijaan.  Käytetyt menetelmät perustuvat enimmäkseen samankaltaisiin ideoihin kuin p-Laplace-yhtälölle on tyypillisesti käytetty, esimerkiksi De Giorgin menetelmää sovelletaan useissa todistuksissa. Yhtälöiden yleisyydestä johtuen on kuitenkin ollut tarpeen löytää myös uusia työkaluja ja ideoita.
Description
Supervising professor
Kinnunen, Juha, Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Thesis advisor
Kuusi, Tuomo, Prof., University of Oulu, Finland
Keywords
partial differential equations, nonlinear analysis, regularity theory, parabolic equations, p-Laplace equation, Orlicz spaces, general growth conditions, regularity of solutions, obstacle problem, phase transtition, Stefan problem, boundary regularity, method of intrinsic scaling, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, epälineaarinen analyysi, säännöllisyysteoria, paraboliset yhtälöt, p-Laplace-yhtälö, Orlicz-avaruudet, yleiset kasvuehdot, ratkaisujen säännöllisyys, esteongelma, faasitransitio, Stefan ongelma, reunasäännöllisyys, intrinsic scaling -menetelmä
Other note
Parts
  • [Publication 1]: Paolo Baroni and Casimir Lindfors. The Cauchy-Dirichlet problem for a general class of parabolic equations. Annales de l’Institut Henri Poincaré (C) Analyse Non Linéaire, Volume 34, Issue 3, pages 593–624, May–June 2017.
    DOI: 10.1016/j.anihpc.2016.03.003 View at publisher
  • [Publication 2]: Casimir Lindfors. Obstacle problem for a class of parabolic equations of generalized p-Laplacian type. Journal of Differential Equations, Volume 261, Issue 10, pages 5499–5540, November 2016.
    DOI: 10.1016/j.jde.2016.08.015 View at publisher
  • [Publication 3]: Paolo Baroni, Tuomo Kuusi, Casimir Lindfors and José Miguel Urbano. Existence and boundary regularity for degenerate phase transitions. SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 50, Issue 1, pages 456–490, January 2018.
    DOI: 10.1137/17M1121585 View at publisher
Citation
Permanent link to this item
https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-7928-8
Collections
[diss] Perustieteiden korkeakoulu / SCI