Efficient reconstruction algorithms for three-dimensional tomographic imaging

Abstract

This thesis considers nonlinear parameter estimation problems arising from tomographic imaging modalities governed by elliptic partial differential equations. These are ill-posed inverse problems and hence their solution requires regularization or, in the Bayesian framework, incorporation of prior information about the to-be-reconstructed spatially varying parameter. In particular, if the parameter is known to have distinct inclusions in a constant background, we quantify such information by assuming that after discretization the parameter follows an edge-enhancing prior distribution. Moreover, we study how to recover from different kinds of errors in the data, since even small ones can be enough to ruin the reconstruction for an illposed tomographic imaging problem.

We consider the solution of the investigated inverse problem to be the maximum a posteriori estimate for the parameter of interest, which can be found by solving a minimization problem. We propose to search for the minimizer by an iterative algorithm based on combining linearizations of the forward model, lagged diffusivity steps and a priorconditioned Krylov subspace method (LSQR). By presenting examples from electrical impedance tomography (EIT), diffuse optical tomography (DOT) and quantitative photoacoustic tomography (QPAT), we demonstrate that such a method can be implemented efficiently enough to be feasible for solving large-scale three-dimensional problems. In addition, we use a conformal invariance result for the complete electrode model (CEM) of EIT to compensate for geometric modeling errors.

Tässä väitöskirjassa käsitellään tomografisiin kuvantamismenetelmiin liittyviä epälineaarisia parametriestimointiongelmia, joiden taustalla on elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö. Kyseessä on huonosti asetettu käänteisongelma, jonka ratkaisu vaatii regularisointia tai bayesiläisessä viitekehyksessä prioritietoa rekonstruoitavasta paikkariippuvasta parametrista. Jos erityisesti tiedetään, että parametri koostuu inkluusioista vakioarvoisessa taustassa, tämä tieto kvantifioidaan olettamalla, että diskretoinnin jälkeen parametri noudattaa reunoja korostavaa priorijakaumaa. Väitöskirjassa käsitellään myös erityyppisten mittaus- ja mallinnusvirheiden huomiointia, sillä huonosti asetettujen tomografisten kuvantamis-ongelmien tapauksessa pienetkin epätarkkuudet voivat pilata rekonstruktion.

Tarkastellun inversio-ongelman ratkaisuna pidetään tässä työssä posteriorijakauman maksimikohtaa, joka voidaan löytää ratkaisemalla tietty minimointiongelma. Minimoijaa etsitään iteratiivisella algoritmilla, joka perustuu suoran mallin lineaarisoinnin, viivästetyn diffusiivisuusaskeleen ja pohjustetun Krylov-aliavaruusmenetelmän (LSQR) yhdistämiseen. Käsittelemällä impedanssitomografiaan (EIT), diffusiiviseen optiseen tomografiaan (DOT) ja kvantitatiiviseen fotoakustiseen tomografiaan (QPAT) liittyviä esimerkkejä osoitetaan, että esitelty algoritmi voidaan toteuttaa riittävän tehokkaasti suuren mittakaavan kolmiulotteisten ongelmien ratkaisemiseksi. Lisäksi erästä EIT:n täydellisen elektrodimallin konformi-invarianssitulosta käytetään geometristen mallinnusvirheiden kompensointiin.