The Dimer Model: Sampling the Model via Markov Chains

No Thumbnail Available
Files
Paatero_Lotta_2023.pdf (1.69 MB)
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Bachelor's thesis
Electronic archive copy is available locally at the Harald Herlin Learning Centre. The staff of Aalto University has access to the electronic bachelor's theses by logging into Aaltodoc with their personal Aalto user ID. Read more about the availability of the bachelor's theses.
Date
2023-12-22
Department
Major/Subject
Matematiikka ja systeemitieteet
Mcode
SCI3029
Degree programme
Teknistieteellinen kandidaattiohjelma
Language
en
Pages
31
Series
Abstract
On a discrete domain, a dimer cover is a collection of pairs consisting of adjacent elements in the discrete domain. The dimer model is a choice of a probability measure on the set of dimer covers of the discrete domain, and in this thesis, we focus solely on the uniform measure. One relevant issue in the study of the dimer model is the number of dimer covers for a certain domain. In this thesis, we present a detailed derivation of a formula for calculating the number of dimer covers for a discrete domain with even holes. Moreover, we find the necessary and sufficient conditions for the existence of a dimer cover for a certain domain. Computer programs have been found useful in the study of the dimer model. The Markov Chain Monte Carlo (MCMC) is one method for creating dimer covers and sampling the dimer model. To sample the Markov chain efficiently, it is critical to know when the Markov chain has converged close enough to its equilibrium. In this thesis, we present a suitable Markov chain for the MCMC method and study its convergence in rectangular domains via simulations. Convergence to the uniform dimer is found to be exponential, as expected. A power law between the domain size and convergence time is found with a higher scaling parameter than expected, indicating that the Markov chain is slowing down in convergence also due to unknown reasons.

Diskreetillä alueella dimeeripeite on kokoelma pareja, jotka koostuvat vierekkäisistä elementeistä. Dimeerimallilla tarkoitetaan todennäköisyysjakauman valintaa dimeeripeitteiden joukolle. Tässä kandidaatintyössä tutkitaan dimeerimallia keskittyen tasajakaumaan. Yksi keskeinen kysymys dimeerimallin tutkimuksessa on dimeeripeitteiden määrä tietyllä alueella. Tässä työssä johdetaan yksityiskohtaisesti kaava, jolla voidaan laskea, kuinka monta erilaista dimeeripeitettä tietylle diskreetille alueelle on olemassa. Lisäksi määritetään välttämättömät ja riittävät ehdot, joiden tulee täyttyä, jotta alueelle voidaan löytää ainakin yksi dimeeripeite. Nykyisin dimeerimallin tutkimuksessa hyödynnetään laajasti myös tietokoneohjelmia. Markovin Monte Carlo -menetelmä on yksi dimeeripeitteiden luomiseen ja otosten poimimiseen käytetty menetelmä. Sitä käytettäessä on tärkeää määrittää, milloin käytetty Markovin ketju on supennut riittävän lähelle tasapainojakaumaansa. Tässä työssä esitetään Markovin Monte Carlo -menetelmälle sopiva Markovin ketju ja tutkitaan simuloimalla sen suppenemista neliskulmaisilla alueilla. Markovin ketjun todetaan odotetusti suppenevan eksponentiaalisesti kohti tasajakaumaa. Alueen koon ja konvergoitumisajan välillä havaitaan potenssilain mukainen suhde, jonka potenssi on hieman odotettua korkeampi. Tämä viittaa siihen, että kaikkia syitä Markovin ketjun suppenemisen hidastumiselle ei vielä tunneta.
Description
Supervisor
Kytölä, Kalle
Thesis advisor
Adame Carrillo, David
Keywords
dimer model, mathematical physics, Markov Chain Monte Carlo
Other note
Citation