Uniform spanning tree and the scaling limit
No Thumbnail Available
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Helsinki University of Technology |
Diplomityö
Checking the digitized thesis and permission for publishing
Instructions for the author
Instructions for the author
Author
Date
2004
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
en
Pages
66
Series
Abstract
A common approach in statistical physics is to define a model in a finite part of a lattice and then to take the lattice size to zero. This limit is called the scaling limit of the model. When the space is two-dimensional, it is often proposed that the scaling limit of the model is conformal invariant in so-called critical phenomenon. In this work the model at hand is uniform spanning tree (UST). It is shown that a random curve (an interface) associated to UST is conform ally invariant. The proof is based on the theory of stochastic Löwner evolutions (SLE). The original proof was done by Lawler, Schramm and Werner. And the current proof uses partially unpublished ideas of Smirnov. The work includes a method to prove compactness of a family of probability measures describing random curves, general introduction to SLE and a method to identify the scaling limit. The last is based on finding a conformal invariant observable that has an explicit expression. This work was done at the Department of mathematics at the University of Helsinki.Statistisessa fysiikassa on usein lähtökohtana rajoitetussa avaruuden osassa määritelty hilamalli. Mallin skaalausrajalla tarkoitetaan hilavälin pienentämistä nollaan. Ns. kriittisissä ilmiössä kaksiulotteisien mallien on ehdotettu säilyttävän ominaisuutensa konformikuvauksissa. Tässä työssä tarkastellaan tasaista virittäjäpuumittaa. Siihen liittyvä satunnaiskäyrä osoitetaan konformi-invariantiksi. Tämä käyrä vastaa fysikaalisesti rajapintaa puun ja sen ulkopuolelle jäävän alueen välillä. Todistuksessa käytetään stokastisten Löwner-evoluutioiden (SLE) teoriaa. Ensimmäisenä konformi-invarianssin osoittivat Lawler, Schramm ja Werner. Tämän työn todistus perustuu Smirnovin osittain julkaisemattomiin ajatuksiin. Työ sisältää tavan todeta satunnaiskäyriä kuvaavan todennäköisyysmittaperheen kompaktisuus, johdatuksen SLE:hen ja tavan tunnistaa skaalausraja. Viimeksi mainitussa käytetään konformi-invarianttia, havainnoitavaa suuretta, jolle tunnetaan eksplisiittinen lauseke. Työ on tehty Helsingin yliopiston Matematiikan laitoksella.Description
Supervisor
Somersalo, ErkkiThesis advisor
Kupiainen, AnttiKeywords
two-dimensional statistical physics, kaksiulotteinen statistinen fysiikka, conformal invariance, konformi-invarianssi, stochastic Löwner evolution, stokastinen Löwner-evoluutio, Löwner equation, Löwner-yhtälö, graphs, graafit, uniform spanning tree, tasainen virittäjäpuumitta, simple random walk, yksinkertainen satunnaiskävely, loop-erased random walk, silmukkapyyhitty satunnaiskävely
